Encontre a curvatura da curva y=2 raizx no ponto (0,0).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a curvatura da curva y=2√x no ponto (0,0). O conteúdo aqui é curvatura de uma função cartesiana y=y(x), e para isso vamos precisar da primeira e da segunda derivadas de y e da fórmula de curvatura kappa=|y''|(1+(y')^2)^3/2.

Passo 2

Para calcular as derivadas, usamos a regra da potência. Como y=2x^1/2, temos:
y'=2cdot12x^-1/2=x^-1/2=1raizx,
y''=-12x^-3/2=-12x^3/2

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de curvatura substituindo y' e y'':
kappa(x)=|y''|l(1+(y')^2r)^3/2=12x^3/2l(1+1xr)^3/2=12cdotx^3/2(x+1)^3/2,x^3/2=12(x+1)^3/2

Passo 4

O ponto (0,0) fica na fronteira do domínio (x≥0), então avaliamos o limite à medida que x→0⁺. Como (x+1)^3/2to1 nessa situação,
limxto0^+kappa(x)=12cdot1=12

Resposta

12

Exercícios relacionados