Analise e responda:
Dados:
O Banco Aurora ofereceu um financiamento com:
  • Valor do financiamento: R$ 180.000,00
  • Prazo: 36 meses
  • Taxa de juros: 1,3% ao mês
  • Sistema de amortização: Francês (SAF/Price)
  • Prestação fixa durante todo o contrato
O Banco Horizonte ofereceu:
  • Valor do financiamento: R$ 180.000,00
  • Prazo: 36 meses
  • Taxa de juros: 1,3% ao mês
  • Sistema de amortização: Constante (SAC)
  • Amortização igual todo mês ( A= valor / prazo)
  • Parcelas decrescentes ao longo do contrato
    Qual sistema tem menor custo total (Sistema de amortização: Francês (SAF/Price) ou Sistema de amortização: Constante (SAC))?

Passo 1

O enunciado dá os dois financiamentos com os mesmos valores e pede para comparar o custo total (somatório de todas as prestações) e dizer qual sistema tem menor custo total.
Dados fornecidos (peguei todos estes números do enunciado):
  • Valor do financiamento: PV = R\$\,180.000,00.
  • Prazo: n=36 meses.
  • Taxa de juros: i=1{,}3\% ao mês, isto é i=0{,}013.
  • Sistema 1: Francês (SAF / Price) — prestações fixas R.
  • Sistema 2: Constante (SAC) — amortização constante A todo mês (parcelas decrescentes).
O que o enunciado pede:
  • Determinar qual sistema tem menor custo total (soma das parcelas pagas ao longo dos 36 meses).
  • Para comparar, vou calcular o total pago em cada sistema.

Passo 2

Entendendo e calculando para o sistema Francês (Price).
  • Conceito rápido: no sistema Price a prestação mensal R é fixa e composta por juros sobre o saldo devedor e por amortização. A fórmula da prestação é a fórmula de uma anuidade:
R = PV \cdot \frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Aqui:
  • PV é o valor do empréstimo ( R\$\,180.000,00),
  • i é a taxa por período ( 0{,}013),
  • n é o número de períodos (36).
Primeiro precisamos calcular o fator (1+i)^{n}. Usando i=0{,}013:
(1+i)^{36} = (1{,}013)^{36} \approx 1{,}59199.
Dessa forma
(1+i)^{-n} \approx 0{,}62824, \qquad 1-(1+i)^{-n} \approx 0{,}37176.
Substituindo na fórmula da prestação:
R \approx 180.000 \cdot \frac{0{,}013}{0{,}37176} = \frac{2.340}{0{,}37176} \approx R\$\,6.294,38.

Passo 3

Total pago no sistema Price e interpretação.
  • Como a prestação é fixa, o total pago ao fim dos 36 meses é
\text{Total}_{\text{Price}} = 36\cdot R \approx 36\cdot 6.294{,}38 \approx R\$\,226.597,72.
  • Juros totais pagos no Price (soma das prestações menos o principal) é aproximadamente
226.597{,}72 - 180.000{,}00 = R\$\,46.597{,}72.

Passo 4

Entendendo e calculando para o sistema SAC (amortização constante).
  • No SAC a amortização mensal é constante e dada por
A = \frac{PV}{n} = \frac{180.000}{36} = R\$\,5.000{,}00.
  • A primeira parcela é juros sobre o saldo inicial mais A:
\text{Parcela}_1 = i\cdot 180.000 + 5.000 = 0{,}013\cdot 180.000 + 5.000 = 2.340 + 5.000 = R\$\,7.340{,}00.
  • A última parcela (mês 36) tem saldo devedor antes do pagamento igual a 5.000, logo
\text{Parcela}_{36} = i\cdot 5.000 + 5.000 = 65 + 5.000 = R\$\,5.065{,}00.
  • Para obter o total de juros pagos no SAC podemos somar os juros mensais. O total de juros é
\text{Juros}_{\text{total}} = i\sum_{k=1}^{36} \text{Saldo}_{k-1},
onde \text{Saldo}_{k-1}=180.000-(k-1)A. Então
\sum_{k=1}^{36} \text{Saldo}_{k-1} = 36\cdot 180.000 - A\sum_{k=1}^{36}(k-1).
Calcule os termos:
36\cdot 180.000 = 6.480.000, \qquad \sum_{k=1}^{36}(k-1)=0+1+\dots+35=\frac{35\cdot 36}{2}=630,
A\cdot 630 = 5.000\cdot 630 = 3.150.000.
Logo
\sum_{k=1}^{36} \text{Saldo}_{k-1} = 6.480.000 - 3.150.000 = 3.330.000.
Portanto os juros totais são
\text{Juros}_{\text{total}} = i\cdot 3.330.000 = 0{,}013\cdot 3.330.000 = R\$\,43.290{,}00.
E o total pago no SAC é principal + juros:
\text{Total}_{\text{SAC}} = 180.000 + 43.290 = R\$\,223.290{,}00.

Passo 5

Comparação numérica e explicação qualitativa.
  • Totais calculados:
\text{Total}_{\text{Price}} \approx R\$\,226.597{,}72, \qquad \text{Total}_{\text{SAC}} = R\$\,223.290{,}00.
  • Diferença:
\text{Total}_{\text{Price}} - \text{Total}_{\text{SAC}} \approx R\$\,3.307{,}72.
  • Interpretação didática (por que o SAC sai mais barato aqui):
    • No SAC a amortização do principal é mais rápida (pagam-se R\$\,5.000 de principal todo mês), então o saldo devedor cai mais rápido que no Price. Como os juros são cobrados sobre o saldo devedor, isso reduz o total de juros pagos.
    • No Price a prestação fixa contém menos amortização no início, então o saldo devedor diminui mais devagar, resultando em juros totais maiores.

Passo 6

Conclusão e incentivo.
  • Resultado prático: para estes números, o SAC tem custo total menor; a diferença não é enorme, mas é significativa. Se estiver na dúvida na hora de escolher, lembrar: SAC costuma ser mais barato em juros totais para a mesma taxa e prazo porque amortiza mais rápido o principal (mas tem parcelas iniciais maiores).

Resposta

O sistema SAC (amortização constante) tem menor custo total. Totais: Price \approx R\$\,226.597{,}72; SAC = R\$\,223.290{,}00.

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