Questão 5. (2,0) Considere a sequência \left(u_{n}\right) definida por
u_{n}=\frac{3 n-1}{2 n+3},
para todo natural n.
a) Mostre que ( u_{n} ) é crescente e limitada.
b) Mostre, utilizando a definição de limite, que \lim u_{n}=\frac{3}{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \left(u_{n}\right) definida por
u_{n}=\frac{3n-1}{2n+3},
para todo natural n. O que é pedido:
  • (a) Mostrar que \left(u_{n}\right) é crescente e limitada.
  • (b) Mostrar, usando a definição de limite, que \displaystyle \lim_{n\to\infty} u_{n}=\frac{3}{2}.
Informações úteis que já temos do enunciado:
  • A fórmula explícita de u_n para cada n.
  • Para todo n envolvido, o denominador 2n+3 é positivo (pois 2n+3\ge 3 para n natural), o que evita problemas de sinal ao multiplicar/desenrolar desigualdades.

Passo 2

Mostrando que \left(u_{n}\right) é crescente (estritamente crescente). A forma direta é estudar a diferença
u_{n+1}-u_n=\frac{3(n+1)-1}{2(n+1)+3}-\frac{3n-1}{2n+3}.
Primeiro escrevemos os termos explicitamente:
u_{n+1}=\frac{3n+2}{2n+5},\qquad u_n=\frac{3n-1}{2n+3}.
Agora calculamos a diferença com denominador comum:
u_{n+1}-u_n =\frac{3n+2}{2n+5}-\frac{3n-1}{2n+3} =\frac{(3n+2)(2n+3)-(3n-1)(2n+5)}{(2n+5)(2n+3)}.
Desenvolvendo os produtos no numerador passo a passo:
(3n+2)(2n+3)=6n^2+13n+6,
(3n-1)(2n+5)=6n^2+13n-5.
Subtraindo:
(6n^2+13n+6)-(6n^2+13n-5)=11.
Portanto
u_{n+1}-u_n=\frac{11}{(2n+5)(2n+3)}.
Como (2n+5)(2n+3)>0 para todo n natural, segue que u_{n+1}-u_n>0. Logo a sequência é estritamente crescente.
Comentário didático curto: a técnica de comparar u_{n+1} com u_n calculando a diferença é a maneira padrão e direta de provar monotonicidade quando temos uma fórmula fechada para u_n.

Passo 3

Mostrando que \left(u_{n}\right) é limitada. Como já provamos que a sequência é crescente, basta encontrar um majorante (um limite superior) para garantir que ela é limitada superiormente; para ser completa, também indicamos um minorante (limite inferior).
Proposição de majorante: mostrar que u_n<\dfrac{3}{2} para todo n. Para isso, usando que 2n+3>0, comparo
\frac{3n-1}{2n+3}<\frac{3}{2}
equivalente a (multiplicando ambos os lados por 2(2n+3)>0)
2(3n-1)<3(2n+3).
Calculando os dois lados:
6n-2<6n+9,
que é verdadeiro para todo n. Portanto u_n<\dfrac{3}{2} para todo n. Assim \dfrac{3}{2} é um majorante (superior) da sequência.
Proposição de minorante: como a sequência é crescente, basta tomar u_1 (ou u_0 se a coleção de naturais incluir 0) como um minorante para todos os termos seguintes. Calculando u_1:
u_1=\frac{3\cdot1-1}{2\cdot1+3}=\frac{2}{5}.
Logo u_n\ge u_1=\dfrac{2}{5} para todo n\ge 1. Portanto a sequência é limitada inferiormente (por exemplo por \tfrac{2}{5}) e limitada superiormente por \tfrac{3}{2}. Conclusão: \left(u_{n}\right) é limitada.
Comentário didático: para sequências racionais do tipo \dfrac{an+b}{cn+d} é comum que haja um limite finito e que a própria razão dos coeficientes líderes dê um majorante/valor limite, daí a facilidade em encontrar um majorante.

Passo 4

Intuição do limite e manipulação algébrica (prévia à prova \varepsilon- N). É útil simplificar u_n dividindo numerador e denominador por n:
u_n=\frac{3n-1}{2n+3}=\frac{3-\dfrac{1}{n}}{2+\dfrac{3}{n}}.
Quando n\to\infty, temos \dfrac{1}{n}\to 0 e \dfrac{3}{n}\to 0, então por essa observação heurística
\lim_{n\to\infty} u_n = \frac{3-0}{2+0}=\frac{3}{2}.
Agora faremos a prova rigorosa usando a definição de limite.

Passo 5

Prova com a definição de limite (a prova \varepsilon- N). Lembrete da definição: dizer que \lim_{n\to\infty} u_n=L significa que para todo \varepsilon>0 existe N\in\mathbb{N} tal que, para todo n\ge N, vale |u_n-L|<\varepsilon. Vamos aplicar com L=\dfrac{3}{2}.
Começamos calculando a diferença absoluta exata:
\left|u_n-\frac{3}{2}\right| =\left|\frac{3n-1}{2n+3}-\frac{3}{2}\right| =\left|\frac{2(3n-1)-3(2n+3)}{2(2n+3)}\right|.
No numerador:
2(3n-1)-3(2n+3)=6n-2-6n-9=-11.
Como o denominador 2(2n+3)=4n+6 é positivo, a expressão absoluta fica
\left|u_n-\frac{3}{2}\right|=\frac{11}{4n+6}.
Queremos que isso seja <\varepsilon. Assim precisamos de
\frac{11}{4n+6}<\varepsilon.
Resolver para n:
4n+6>\frac{11}{\varepsilon} \qquad\Longleftrightarrow\qquad n>\frac{1}{4}\left(\frac{11}{\varepsilon}-6\right).
Portanto, dado \varepsilon>0, basta escolher um N\in\mathbb{N} tal que
N>\frac{1}{4}\left(\frac{11}{\varepsilon}-6\right).
Por exemplo, pode-se tomar
N=\left\lceil \frac{1}{4}\left(\frac{11}{\varepsilon}-6\right)\right\rceil,
onde \lceil x\rceil é o menor inteiro maior ou igual a x. Com essa escolha, para todo n\ge N teremos \dfrac{11}{4n+6}<\varepsilon e, portanto,
\left|u_n-\frac{3}{2}\right|<\varepsilon.
Isto confirma rigorosamente que \displaystyle \lim_{n\to\infty} u_n=\frac{3}{2} pela definição.
Comentário prático: uma versão mais grosseira mas muitas vezes suficiente é usar 4n+6\ge 4n e pedir \dfrac{11}{4n}<\varepsilon, o que dá a condição n>\dfrac{11}{4\varepsilon}. Essa escolha livra de constantes pequenas e dá um N mais simples de calcular em exemplos numéricos.

Passo 6

Síntese final (encorajamento): mostramos passo a passo que u_{n+1}-u_n>0 (logo sequência crescente), que u_n<\tfrac{3}{2} e u_n\ge u_1 (logo limitada) e fizemos a prova \varepsilon- N completa que demonstra que o limite é \tfrac{3}{2}. Mandou bem por insistir — essas manipulações algébricas e a técnica \varepsilon- N são fundamentais e ficam mais naturais com prática.

Resposta

(a) \left(u_{n}\right) é crescente e limitada superiormente por \dfrac{3}{2} (e inferiormente, por exemplo, por u_1=\dfrac{2}{5}).
(b) \displaystyle \lim_{n\to\infty} u_{n}=\frac{3}{2}.

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