Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o teste de condensação de Cauchy, que é bem eficiente quando aparece fator polinomial em
e fator logarítmico.
Passo 2
Denotemos
Para aplicar o teste de condensação de Cauchy, precisamos que
seja positiva e (eventualmente) monótona decrescente. De fato, para
temos
e pode-se mostrar que a função
é decrescente para
grande. Logo, vale
Passo 3
Calculemos o termo condensado:
Como
cresce exponencialmente e multiplica
, o termo
não tende a zero (na verdade tende a
) quando
.
Passo 4
Para que a série
seja convergente, seus termos devem tender a zero. Aqui eles crescem sem limite, logo
diverge.
Resposta
A série
diverge (teste de condensação de Cauchy).