Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(\ln n)^{2}}{n^{1 / 2}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln n)^{2}}{n^{1/2}}.
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o teste de condensação de Cauchy, que é bem eficiente quando aparece fator polinomial em n e fator logarítmico.

Passo 2

Denotemos
a_{n} = \frac{(\ln n)^{2}}{n^{1/2}}.
Para aplicar o teste de condensação de Cauchy, precisamos que a_{n} seja positiva e (eventualmente) monótona decrescente. De fato, para n\ge 3 temos \ln n>0 e pode-se mostrar que a função f(x)=(\ln x)^2/x^{1/2} é decrescente para x grande. Logo, vale
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\quad\text{converge}\;\Longleftrightarrow\;\sum_{k=1}^{\infty}2^{k}a_{2^{k}} \quad\text{converge}.

Passo 3

Calculemos o termo condensado:
2^{k}a_{2^{k}} =2^{k}\,\frac{\bigl(\ln(2^{k})\bigr)^{2}}{(2^{k})^{1/2}} =2^{k}\,\frac{(k\ln2)^{2}}{2^{k/2}} =(\ln2)^{2}\,k^{2}\,2^{k/2}.
Como 2^{k/2} cresce exponencialmente e multiplica k^2, o termo
(\ln2)^{2}\,k^{2}\,2^{k/2}
não tende a zero (na verdade tende a +\infty) quando k\to\infty.

Passo 4

Para que a série \sum 2^{k}a_{2^{k}} seja convergente, seus termos devem tender a zero. Aqui eles crescem sem limite, logo
\sum_{k=1}^{\infty}2^{k}a_{2^{k}}
diverge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(\ln n)^{2}}{n^{1/2}} diverge (teste de condensação de Cauchy).

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