Analise as situações a seguir e assinale a alternativa correta:
I - O desconto comercial é um tipo de desconto conhecido como “por dentro”, que corresponde a uma operação de descapitalização, em que se adota o valor atual como referência para o seu cálculo percentual.
II - Certo produto é vendido por um valor x, em reais, sem desconto. Com o desconto de 20 \%, o preço é de \mathrm{R} \ 100,00 . O valor de x éé\mathrm{R} $120,00$
III - Sabendo que 40 \% de determinado produto custa \mathrm{R} \ 960,00 , então o valor do televisor comã10 % de desconto é igual a:é\mathrm{R} $2.160,00$
IV - Determinado título de crédito possui valor de face de \mathrm{R} \ 40.000,00 (quarenta mil reais) e prazo de vencimento em 60 dias. Sob uma taxa de desconto "por fora" de 1\% ao mês, o valor do desconto composto é deêé\mathrm{R} $796,00$.

UNIVERSIDADE ESTADUAL DA PARAÍBA - CAMPUS VIII CENTRO DE CIÊNCIAS, TECNOLOGIA E SAÚDE DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: ENGENHARIA ECONÔMICA

a. I e II estão corretas
b. II e IV estão corretas
c. III e IV estão corretos
d. apenas o IV está correto

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado apresenta quatro afirmações numeradas I, II, III e IV, e pede que se assinale a alternativa correta entre (a), (b), (c) e (d). As afirmações são:
  • I — “O desconto comercial é um tipo de desconto conhecido como ‘por dentro’, que corresponde a uma operação de descapitalização, em que se adota o valor atual como referência para o seu cálculo percentual.”
  • II — “Certo produto é vendido por um valor x, em reais, sem desconto. Com o desconto de 20\%, o preço é de \mathrm{R}\$\,100,00. O valor de x é \mathrm{R}\$\,120,00.”
  • III — “Sabendo que 40\% de determinado produto custa \mathrm{R}\$\,960,00, então o valor do televisor com 10\% de desconto é igual a: \mathrm{R}\$\,2.160,00.”
  • IV — “Determinado título de crédito possui valor de face de \mathrm{R}\$\,40.000,00 e prazo de vencimento em 60 dias. Sob uma taxa de desconto ‘por fora’ de 1\% ao mês, o valor do desconto composto é de \mathrm{R}\$\,796,00.”
O objetivo é verificar a veracidade de cada uma das quatro afirmações e, a partir disso, escolher a alternativa correta entre:
  • (a) I e II estão corretas
  • (b) II e IV estão corretas
  • (c) III e IV estão corretas
  • (d) apenas o IV está correto

Passo 2

Primeiro vou explicar os conceitos necessários sobre descontos, porque a interpretação correta das palavras “comercial”, “por fora” e “por dentro” é crucial para avaliar a afirmação I e a IV.
  • Desconto comercial (também chamado de desconto “por fora” ou desconto bancário simples, dependendo do contexto): é o desconto calculado sobre o valor de face (valor nominal) do título. No caso simples, o desconto comercial simples é
D = N \cdot i \cdot t,
onde D é o desconto, N é o valor de face (nominal), i é a taxa no período e t é o tempo (em períodos). O valor a receber (valor atual ou valor presente) é
A = N - D.
Por isso é conhecido como “por fora”: o desconto é calculado sobre o valor nominal e depois subtraído.
  • Desconto racional (também chamado de desconto “por dentro” ou desconto por dentro ou desconto verdadeiro): calcula o valor presente a partir do valor nominal descontando juros/ taxa diretamente, i.e. o valor atual A é obtido dividindo-se o nominal por um fator de capitalização. Em juros compostos,
A = \frac{N}{(1+i)^n}.
O desconto racional (ou por dentro) é
D = N - A = N - \frac{N}{(1+i)^n} = N\left(1 - \frac{1}{(1+i)^n}\right).
Observe que em linguagem financeira, alguns autores chamam desconto racional de “por dentro” e o desconto comercial de “por fora”. Portanto é importante lembrar: desconto comercial = “por fora”; desconto racional = “por dentro”.

Passo 3

Análise da afirmação I.
A afirmação I diz que “o desconto comercial é um tipo de desconto conhecido como ‘por dentro’, … em que se adota o valor atual como referência para o seu cálculo percentual.”
  • Pela explicação do Passo 2, isso está invertido: o desconto comercial é conhecido como “por fora” e é calculado sobre o valor nominal. O desconto que é “por dentro” é o desconto racional, que adota o valor atual como referência na formulação (ou, equivalentemente, calcula o valor atual a partir do nominal).
  • Portanto a afirmação I está incorreta.

Passo 4

Análise da afirmação II com cálculo passo a passo.
A afirmação II: “Produto tem preço sem desconto x. Com desconto de 20\%, o preço fica \mathrm{R}\$\,100{,}00. Então x=\mathrm{R}\$\,120{,}00.”
  • Se o preço sem desconto é x e o desconto é 20\% do preço original, o preço com desconto é x(1-0{,}20)=0{,}80x.
  • A condição dada é 0{,}80x = 100.
  • Resolvendo para x:
x = \frac{100}{0{,}80} = 125.
  • Logo x=\mathrm{R}\$\,125{,}00, não \mathrm{R}\$\,120{,}00.
Conclusão: a afirmação II está incorreta.

Passo 5

Análise da afirmação III com cálculo passo a passo.
A afirmação III: “Sabendo que 40\% de determinado produto custa \mathrm{R}\$\,960{,}00, então o valor do televisor com 10\% de desconto é igual a: \mathrm{R}\$\,2.160{,}00.”
  • Primeiro encontro o preço cheio P do produto. Se 40\% do preço é 960,
0{,}40P = 960 \quad\Rightarrow\quad P = \frac{960}{0{,}40}.
  • Calculando:
P = 960 \div 0{,}40 = 2400.
  • Agora aplico desconto de 10\% sobre o preço cheio: preço com desconto é P(1-0{,}10)=0{,}90P.
  • Portanto:
\text{preço com }10\% = 0{,}90\cdot 2400 = 2160.ç
  • Isso é exatamente \mathrm{R}\$\,2.160{,}00.
Conclusão: a afirmação III está correta.

Passo 6

Análise da afirmação IV com cálculo passo a passo (desconto composto “por fora”).
A afirmação IV: “Valor de face N=\mathrm{R}\$\,40.000{,}00, prazo 60 dias, taxa de desconto ‘por fora’ de 1\% ao mês. O valor do desconto composto é \mathrm{R}\$\,796{,}00.”
Interpretação e fórmula (usando desconto composto / juros compostos):
  • Para desconto composto (juros compostos) e desconto “por fora” (desconto comercial composto), o valor atual A é dado por
A = \frac{N}{(1+i)^n},
onde i é a taxa por período e n o número de períodos. O desconto D é
D = N - A = N\left(1 - \frac{1}{(1+i)^n}\right).
Aplicando aos dados:
  • N = 40\,000.
  • Taxa i = 1\% = 0{,}01 por mês.
  • Prazo 60 dias = 2 meses, logo n=2.
Calculemos:
(1+i)^n = (1{,}01)^2 = 1{,}0201.
\frac{1}{(1+i)^n} = \frac{1}{1{,}0201}\approx 0{,}980293.
D = 40\,000\left(1 - 0{,}980293\right) = 40\,000\cdot 0{,}019707\ldots
D \approx 40\,000 \times 0{,}019707 = 788{,}28\\ (\text{com arredondamento intermédio}) .é
Fazendo a conta com mais precisão:
\frac{1}{1{,}0201}\approx 0{,}9803921569\quad(\text{correção: valor exato }1/1{,}0201),çã
na realidade
\frac{1}{1{,}0201}\approx 0{,}980293; \quad 1- \frac{1}{1{,}0201}\approx 0{,}019707.
Multiplicando:
D \approx 40\,000\times 0{,}019707\approx 788{,}28.
(Observação: dependendo do arredondamento intermediário pode surgir um número próximo, mas o valor exato calculado corretamente é aproximadamente \mathrm{R}\$\,784{,}31 se usar a versão numérica precisa: veja nota abaixo.)
Vou recalcular com precisão numérica direta para fechar sem dúvida:
(1{,}01)^2 = 1{,}0201,\quad \frac{1}{1{,}0201} \approx 0{,}980293; \quad 1-0{,}980293=0{,}019707,
D \approx 40\,000\times 0{,}019707 \approx 788{,}28.
(Nota sobre pequenas diferenças numéricas: se alguém fizer aproximações diferentes em algum passo pode obter valores como 800{,}00 (se usar desconto simples N\cdot i\cdot n) ou 784{,}31 ou 788{,}28 dependendo do arredondamento. Em qualquer caso, o valor indicado na afirmação, \mathrm{R}\$\,796{,}00, não coincide com o valor que se obtém corretamente por desconto composto com i=1\% e n=2.)
Conclusão: a afirmação IV está incorreta.

Passo 7

Resumo das verificações:
  • I — incorreta (confusão entre “comercial” e “por dentro”).
  • II — incorreta (o cálculo correto dá x=\mathrm{R}\$\,125{,}00).
  • III — correta (confere \mathrm{R}\$\,2.160{,}00).
  • IV — incorreta (desconto composto calculado corretamente dá valor diferente de \mathrm{R}\$\,796{,}00).
Portanto, apenas a afirmação III é verdadeira.

Resposta

Apenas a III está correta.

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