Análise de Vértice: Determine as coordenadas do vértice e a concavidade da parábola f(x)=-x^{2}+6 x-5.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática f(x)=-x^{2}+6x-5 e pede duas coisas:
  • determinar as coordenadas do vértice da parábola;
  • dizer a concavidade da parábola (se abre para cima ou para baixo).
Informações que temos: os coeficientes da função quadrática são a=-1, b=6 e c=-5 na forma padrão f(x)=ax^{2}+bx+c.

Passo 2

O que é o vértice e como vamos encontrá‑lo (explicação calma):
Uma parábola dada por f(x)=ax^{2}+bx+c pode ser escrita na forma vértice (forma canônica)
f(x)=a(x-h)^{2}+k,
onde (h,k) é exatamente o vértice. Duas maneiras simples de achar o vértice são:
  • completar o quadrado para escrever f na forma a(x-h)^{2}+k; ou
  • usar a fórmula direta para a abscissa do vértice \displaystyle h=-\frac{b}{2a} (derivada também leva a essa fórmula).
Vou usar completar o quadrado (é algébrica e não exige cálculo) e depois fazer um cheque rápido com a fórmula \displaystyle h=-\frac{b}{2a}.

Passo 3

Completar o quadrado passo a passo. Começo com
f(x)=-x^{2}+6x-5.
Factoro o coeficiente a=-1 dos termos quadrático e linear para isolar o quadrado:
f(x) = -\bigl(x^{2}-6x\bigr)-5.
Agora dentro do parêntese completo o quadrado de x^{2}-6x. A metade do coeficiente de x é 3, e seu quadrado é 9. Assim:
x^{2}-6x = (x^{2}-6x+9)-9 = (x-3)^{2}-9.
Substituo isso em f(x):
f(x) = -\bigl((x-3)^{2}-9\bigr)-5.
Distribuo o sinal negativo:
f(x) = -(x-3)^{2} +9 -5.
E simplifico os termos constantes:
f(x) = -(x-3)^{2} +4.

Passo 4

Interpretação da forma obtida: agora f(x) está na forma a(x-h)^{2}+k com a=-1, h=3 e k=4. Portanto o vértice é o ponto (h,k)=(3,4).

Passo 5

Cheque rápido usando a fórmula direta para a abscissa do vértice: com a=-1 e b=6,
h = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2\cdot(-1)} = -\frac{6}{-2}=3.
Calculando k=f(h)=f(3):
f(3) = -(3)^{2}+6\cdot 3 -5 = -9 +18 -5 =4.
Confere: vértice (3,4).

Passo 6

Concavidade (o que significa e como decidir):
Para uma parábola f(x)=ax^{2}+bx+c, o sinal do coeficiente a determina a concavidade:
  • se a>0, a parábola é côncava para cima (abre para cima) e o vértice é um mínimo;
  • se a<0, a parábola é côncava para baixo (abre para baixo) e o vértice é um máximo.
No nosso caso a=-1<0, logo a parábola é côncava para baixo (abre para baixo) e o vértice (3,4) é um ponto de máximo.

Resposta

Vértice: (3,4)
Concavidade: côncava para baixo (abre para baixo)

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