Análise de Vértice: Determine as coordenadas do vértice e a concavidade da parábola
.
Passo 1
O enunciado dá a função quadrática
e pede duas coisas:
- determinar as coordenadas do vértice da parábola;
- dizer a concavidade da parábola (se abre para cima ou para baixo).
Informações que temos: os coeficientes da função quadrática são
,
e
na forma padrão
.
Passo 2
O que é o vértice e como vamos encontrá‑lo (explicação calma):
Uma parábola dada por pode ser escrita na forma vértice (forma canônica)
Uma parábola dada por
onde
é exatamente o vértice. Duas maneiras simples de achar o vértice são:
- completar o quadrado para escrever
na forma ; ou - usar a fórmula direta para a abscissa do vértice
(derivada também leva a essa fórmula).
Vou usar completar o quadrado (é algébrica e não exige cálculo) e depois fazer um cheque rápido com a fórmula
.
Passo 3
Completar o quadrado passo a passo. Começo com
Factoro o coeficiente
dos termos quadrático e linear para isolar o quadrado:
Agora dentro do parêntese completo o quadrado de
. A metade do coeficiente de
é
, e seu quadrado é
. Assim:
Substituo isso em
:
Distribuo o sinal negativo:
E simplifico os termos constantes:
Passo 4
Interpretação da forma obtida: agora
está na forma
com
,
e
. Portanto o vértice é o ponto
.
Passo 5
Cheque rápido usando a fórmula direta para a abscissa do vértice: com
e
,
Calculando
:
Confere: vértice
.
Passo 6
Concavidade (o que significa e como decidir):
Para uma parábola , o sinal do coeficiente
determina a concavidade:
Para uma parábola
- se
, a parábola é côncava para cima (abre para cima) e o vértice é um mínimo; - se
, a parábola é côncava para baixo (abre para baixo) e o vértice é um máximo.
No nosso caso
, logo a parábola é côncava para baixo (abre para baixo) e o vértice
é um ponto de máximo.
Resposta
Vértice:
Concavidade: côncava para baixo (abre para baixo)
Concavidade: côncava para baixo (abre para baixo)