Interseção de Sinais: Determine os pontos de encontro entre o sinal de realimentação
e a referência linear
.
Passo 1
O enunciado fornece duas funções e pede os pontos onde elas se encontram (interseções):
- Função de realimentação:
. - Referência linear:
.
O que é pedido: determinar todos os pontos
tais que o valor de
e de
coincidem — isto é, todos os
para os quais
, e então os correspondentes valores de
.
Passo 2
Ideia básica para encontrar interseções: pontos de encontro entre as curvas ocorrem quando as duas funções têm o mesmo valor para o mesmo
. Então devemos resolver a equação
Substituindo as expressões dadas:
Passo 3
Colocar a equação na forma padrão de equação polinomial (levar tudo para o mesmo lado) para facilitar a resolução:
Isto é uma equação quadrática do tipo
onde, aqui,
,
e
.
Breve explicação do que é uma equação quadrática: é uma equação polinomial de grau 2 (tem
). Para resolver usamos fatoração (quando possível) ou a fórmula quadrática. A fórmula quadrática é
onde o discriminante é
. Se
há duas raízes reais distintas; se
há uma raiz real dupla; se
não há raízes reais.
Passo 4
Tentar fatorar a equação
é mais rápido quando os coeficientes são pequenos. Para fatorar procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
. Esses números são
e
, pois:
Portanto a fatoração é
Passo 5
Usar a propriedade do produto zero: se
então pelo menos um dos fatores é zero. Assim
Portanto as soluções para
são
Passo 6
Agora calcular o valor de
correspondente a cada
. Pode-se usar
ou
(ambas dão o mesmo resultado nos pontos de interseção).
Para
:
(Verificando em
:
. Confere.)
Para
:
(Verificando em
:
. Confere.)
Passo 7
Conclusão: as duas curvas se encontram em dois pontos distintos. Os pontos de interseção são
e
. Boa! Dá pra decorar o procedimento: iguala, organiza em uma quadrática, fatora ou usa a fórmula, e substitui de volta para achar
.