Interseção de Sinais: Determine os pontos de encontro entre o sinal de realimentação f(x)=x^{2} e a referência linear g(x)=2 x+3.

Passo 1

O enunciado fornece duas funções e pede os pontos onde elas se encontram (interseções):
  • Função de realimentação: f(x)=x^{2}.
  • Referência linear: g(x)=2x+3.
O que é pedido: determinar todos os pontos (x,y) tais que o valor de f e de g coincidem — isto é, todos os x para os quais f(x)=g(x), e então os correspondentes valores de y.

Passo 2

Ideia básica para encontrar interseções: pontos de encontro entre as curvas ocorrem quando as duas funções têm o mesmo valor para o mesmo x. Então devemos resolver a equação
f(x)=g(x).
Substituindo as expressões dadas:
x^{2}=2x+3.

Passo 3

Colocar a equação na forma padrão de equação polinomial (levar tudo para o mesmo lado) para facilitar a resolução:
x^{2}-2x-3=0.
Isto é uma equação quadrática do tipo
ax^{2}+bx+c=0,
onde, aqui, a=1, b=-2 e c=-3.
Breve explicação do que é uma equação quadrática: é uma equação polinomial de grau 2 (tem x^{2}). Para resolver usamos fatoração (quando possível) ou a fórmula quadrática. A fórmula quadrática é
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde o discriminante é \Delta=b^{2}-4ac. Se \Delta>0 há duas raízes reais distintas; se \Delta=0 há uma raiz real dupla; se \Delta<0 não há raízes reais.

Passo 4

Tentar fatorar a equação x^{2}-2x-3=0 é mais rápido quando os coeficientes são pequenos. Para fatorar procuramos dois números cujo produto seja c=-3 e cuja soma seja b=-2. Esses números são -3 e +1, pois:
(-3)\cdot(1)=-3,\qquad (-3)+(1)=-2.
Portanto a fatoração é
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).

Passo 5

Usar a propriedade do produto zero: se (x-3)(x+1)=0 então pelo menos um dos fatores é zero. Assim
x-3=0 \quad\text{ou}\quad x+1=0.
Portanto as soluções para x são
x=3 \qquad\text{e}\qquad x=-1.

Passo 6

Agora calcular o valor de y correspondente a cada x. Pode-se usar f ou g (ambas dão o mesmo resultado nos pontos de interseção).
Para x=3:
y=f(3)=3^{2}=9.
(Verificando em g: g(3)=2\cdot3+3=6+3=9. Confere.)
Para x=-1:
y=f(-1)=(-1)^{2}=1.
(Verificando em g: g(-1)=2\cdot(-1)+3=-2+3=1. Confere.)

Passo 7

Conclusão: as duas curvas se encontram em dois pontos distintos. Os pontos de interseção são (3,9) e (-1,1). Boa! Dá pra decorar o procedimento: iguala, organiza em uma quadrática, fatora ou usa a fórmula, e substitui de volta para achar y.

Resposta

(3,9)
(-1,1)

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