Um anel de cobre de 20,0 \mathrm{~g} tem um diâmetro interno de exatamente 2,54000 \mathrm{~cm} a temperatura de 0,000^{\circ} \mathrm{C}. Uma esfera de aço tem um diâmetro de exatamente 2,54450 \mathrm{~cm} a temperatura de 100,0^{\circ} \mathrm{C}. A esfera é colocada em cima do anel e permite-se que os dois encontrem seu equilíbrio térmico, sem ser perdido calor para o ambiente. A esfera passa exatamente pelo anel na temperatura de equilíbrio.
Os calores específicos do cobre e aço são 386 e 500 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} . \mathrm{K}), já os coeficiente de dilatação térmica linear são 17 \times 10^{-6} / \mathrm{C}^{\circ} e 18 \times 10^{-6} / \mathrm{C}^{\circ}, respectivamente.
(a) Qual é a temperatura de equilíbrio?
Resposta: □
(b) Qual é a massa da esfera?
Resposta: □

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas:
  1. (a) Qual é a temperatura de equilíbrio quando a esfera de aço (inicialmente a 100,0^\circ\mathrm{C}) e o anel de cobre (inicialmente a 0,000^\circ\mathrm{C}) são postos em contacto térmico isolado e a esfera passa exatamente pelo anel na temperatura final?
  2. (b) Qual é a massa da esfera?
Informações dadas (vou listar exatamente como estão no enunciado, todas as quantidades em TeX):
  • Massa do anel de cobre: m_{\text{anel}}=20,0\\ \mathrm{g}=0,0200\\ \mathrm{kg}.
  • Diâmetro interno do anel a 0,000^\circ\mathrm{C}: D_{\text{anel},0}=2,54000\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro da esfera a 100,0^\circ\mathrm{C}: D_{\text{esf},100}=2,54450\\ \mathrm{cm}.
  • A esfera passa exatamente pelo anel na temperatura de equilíbrio T (ou seja, os diâmetros finais coincidem).
  • Calor específico do cobre: c_{\text{Cu}}=386\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Calor específico do aço: c_{\text{aço}}=500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}ç.
  • Coeficiente de dilatação linear do cobre: \alpha_{\text{Cu}}=17\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Coeficiente de dilatação linear do aço: \alpha_{\text{aço}}=18\times10^{-6}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}ç.
Observações que uso implicitamente:
  • Dilatação linear é apropriada para diámetros (uma dimensão linear).
  • Temperatura de equilíbrio T estará entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}.
  • O sistema é isolado: calor perdido pela esfera = calor ganho pelo anel.

Passo 2

Princípio da dilatação linear (aula rápida e passo a passo):
  • Para uma dimensão linear qualquer (como um diâmetro) a variação com a temperatura é dada por
\Delta L=\alpha L_0 \Delta T,
onde \Delta L é a variação do comprimento, \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1} ou \mathrm{K}^{-1}), L_0 é o comprimento inicial e \Delta T é a variação de temperatura ( T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}).
  • O comprimento final é então
L=L_0\,(1+\alpha\Delta T).
  • Aplicando isso aos diâmetros:
    • Diâmetro do anel a temperatura T:
    D_{\text{anel}}(T)=D_{\text{anel},0}\bigl(1+\alpha_{\text{Cu}}(T-0)\bigr)=D_{\text{anel},0}\bigl(1+\alpha_{\text{Cu}}T\bigr).
    • Diâmetro da esfera a temperatura T (lembre: esfera parte a 100^\circ\mathrm{C}):
    D_{\text{esf}}(T)=D_{\text{esf},100}\bigl(1+\alpha_{\text{aço}}(T-100)\bigr).ç

Passo 3

Condição geométrica do enunciado (a esfera passa exatamente pelo anel na temperatura de equilíbrio): igualamos os diâmetros finais:
D_{\text{anel},0}\bigl(1+\alpha_{\text{Cu}}T\bigr)=D_{\text{esf},100}\bigl(1+\alpha_{\text{aço}}(T-100)\bigr).ç
Substituindo os números (todos em TeX e usando vírgula decimal):
2,54000\bigl(1+(17\times10^{-6})T\bigr)=2,54450\bigl(1+(18\times10^{-6})(T-100)\bigr).
Agora desenvolvo ambos os lados passo a passo:
  • Primeiro o lado direito: (18\times10^{-6})(T-100)=18\times10^{-6}\,T-18\times10^{-6}\times100.
  • Calculo 18\times10^{-6}\times100=0,0018.
  • Então o lado direito fica 2,54450\bigl(1-0,0018+18\times10^{-6}\,T\bigr).
  • Multiplico 2,54450 por 1-0,0018=0,9982: 2,54450\times0,9982=2,54450-2,54450\times0,0018=2,54450-0,0045801=2,5399199.
  • Multiplico também 2,54450\times18\times10^{-6}=2,54450\times0,000018=0,000045801=4,5801\times10^{-5}.
  • Para o lado esquerdo: 2,54000\times17\times10^{-6}\,T=2,54000\times0,000017\,T=0,00004318\,T=4,318\times10^{-5}\,T.
Agora coloco tudo na equação:
2,54000+4,318\times10^{-5}\,T=2,5399199+4,5801\times10^{-5}\,T.
Subtraio 2,5399199 de ambos os lados e agrupo os termos em T:
2,54000-2,5399199=(4,5801\times10^{-5}-4,318\times10^{-5})\,T.
Calculo o lado constante:
2,54000-2,5399199=0,0000801.
Calculo a diferença dos coeficientes de T:
4,5801\times10^{-5}-4,318\times10^{-5}=0,2621\times10^{-5}=2,621\times10^{-6}.
Logo
0,0000801=2,621\times10^{-6}\,T.
Resolvo para T:
T=\frac{0,0000801}{2,621\times10^{-6}}.
Faço a divisão (mostrando o raciocínio): 0,0000801/0,000002621\approx30,558.
Arredondando com razoável precisão (duas casas decimais, suficiente para física experimental típica):
T\approx30,56^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Princípio da conservação de energia térmica (aula curta):
  • Em um sistema isolado, o calor perdido por um corpo que esfria é igual ao calor ganho por outro que aquece.
  • A expressão para calor trocado por um corpo é
Q=m\,c\,\Delta T,
onde m é a massa, c o calor específico e \Delta T=T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}.
  • No nosso caso:
    • Calor ganho pelo anel de cobre (aquecendo de 0^\circ\mathrm{C} até T):
    Q_{\text{anel}}=m_{\text{anel}}\,c_{\text{Cu}}\,(T-0)=m_{\text{anel}}\,c_{\text{Cu}}\,T.
    • Calor perdido pela esfera de aço (resfriando de 100^\circ\mathrm{C} até T):
    Q_{\text{esf}}=m_{\text{esf}}\,c_{\text{aço}}\,(T-100)= -m_{\text{esf}}\,c_{\text{aço}}\,(100-T).çç(o sinal negativo indica perda; em módulo: m_{\text{esf}}c_{\text{aço}}(100-T)ç.)
  • Igualando em módulo (calor ganho = calor perdido):
m_{\text{anel}}\,c_{\text{Cu}}\,T=m_{\text{esf}}\,c_{\text{aço}}\,(100-T).ç
Resolvendo para m_{\text{esf}}:
m_{\text{esf}}=\frac{m_{\text{anel}}\,c_{\text{Cu}}\,T}{c_{\text{aço}}\,(100-T)}.ç

Passo 5

Substituo os valores numéricos (usando T=30,558^\circ\mathrm{C} ou o arredondado 30,56^\circ\mathrm{C}). Vou usar T=30,558^\circ\mathrm{C} para máxima consistência com cálculo anterior e depois arredondar o resultado:
m_{\text{esf}}=\frac{0,0200\cdot386\cdot30,558}{500\cdot(100-30,558)}.
Calculo passo a passo:
  • Numerador: 0,0200\times386=7,72. Então 7,72\times30,558=235,906 (joules).
  • Denominador: 100-30,558=69,442. Então 500\times69,442=34\,721.
  • Dividindo:
m_{\text{esf}}=\frac{235,906}{34\,721}\approx0,0067953\\ \mathrm{kg}.
Convertendo para gramas:
m_{\text{esf}}\approx6,80\\ \mathrm{g}.
(Arredondei para três algarismos significativos, coerente com os dados fornecidos.)

Passo 6

Verificação rápida (cheque mental):
  • Temperatura de equilíbrio 30,56^\circ\mathrm{C} está entre 0^\circ\mathrm{C} e 100^\circ\mathrm{C}, faz sentido.
  • A massa da esfera é menor que a massa do anel (6,80 g vs 20,0 g); devido a calor específico do aço e diferença de temperaturas iniciais, a ordem de grandeza faz sentido.

Resposta

(a) 30,56^\circ\mathrm{C}
(b) 6,80\\ \mathrm{g}

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