Um anel de cobre de
tem um diâmetro interno de exatamente
a temperatura de
. Uma esfera de aço tem um diâmetro de exatamente
a temperatura de
. A esfera é colocada em cima do anel e permite-se que os dois encontrem seu equilíbrio térmico, sem ser perdido calor para o ambiente. A esfera passa exatamente pelo anel na temperatura de equilíbrio.
Os calores específicos do cobre e aço são 386 e
, já os coeficiente de dilatação térmica linear são
e
, respectivamente.
(a) Qual é a temperatura de equilíbrio?
Resposta: □
(b) Qual é a massa da esfera?
Resposta: □
Os calores específicos do cobre e aço são 386 e
(a) Qual é a temperatura de equilíbrio?
(b) Qual é a massa da esfera?
Passo 1
O enunciado pergunta duas coisas:
- (a) Qual é a temperatura de equilíbrio quando a esfera de aço (inicialmente a
) e o anel de cobre (inicialmente a ) são postos em contacto térmico isolado e a esfera passa exatamente pelo anel na temperatura final? - (b) Qual é a massa da esfera?
Informações dadas (vou listar exatamente como estão no enunciado, todas as quantidades em TeX):
- Massa do anel de cobre:
. - Diâmetro interno do anel a
: . - Diâmetro da esfera a
: . - A esfera passa exatamente pelo anel na temperatura de equilíbrio
(ou seja, os diâmetros finais coincidem). - Calor específico do cobre:
. - Calor específico do aço:
. - Coeficiente de dilatação linear do cobre:
. - Coeficiente de dilatação linear do aço:
.
Observações que uso implicitamente:
- Dilatação linear é apropriada para diámetros (uma dimensão linear).
- Temperatura de equilíbrio
estará entre e . - O sistema é isolado: calor perdido pela esfera = calor ganho pelo anel.
Passo 2
Princípio da dilatação linear (aula rápida e passo a passo):
- Para uma dimensão linear qualquer (como um diâmetro) a variação com a temperatura é dada por
onde
é a variação do comprimento,
é o coeficiente de dilatação linear (unidade
ou
),
é o comprimento inicial e
é a variação de temperatura (
).
- O comprimento final é então
- Aplicando isso aos diâmetros:
- Diâmetro do anel a temperatura
:
- Diâmetro da esfera a temperatura
(lembre: esfera parte a ):
- Diâmetro do anel a temperatura
Passo 3
Condição geométrica do enunciado (a esfera passa exatamente pelo anel na temperatura de equilíbrio): igualamos os diâmetros finais:
Substituindo os números (todos em TeX e usando vírgula decimal):
Agora desenvolvo ambos os lados passo a passo:
- Primeiro o lado direito:
. - Calculo
. - Então o lado direito fica
. - Multiplico
por : - Multiplico também
. - Para o lado esquerdo:
.
Agora coloco tudo na equação:
Subtraio
de ambos os lados e agrupo os termos em
:
Calculo o lado constante:
Calculo a diferença dos coeficientes de
:
Logo
Resolvo para
:
Faço a divisão (mostrando o raciocínio):
.
Arredondando com razoável precisão (duas casas decimais, suficiente para física experimental típica):
Arredondando com razoável precisão (duas casas decimais, suficiente para física experimental típica):
Passo 4
Princípio da conservação de energia térmica (aula curta):
- Em um sistema isolado, o calor perdido por um corpo que esfria é igual ao calor ganho por outro que aquece.
- A expressão para calor trocado por um corpo é
onde
é a massa,
o calor específico e
.
- No nosso caso:
- Calor ganho pelo anel de cobre (aquecendo de
até ):
- Calor perdido pela esfera de aço (resfriando de
até ):
(o sinal negativo indica perda; em módulo: .) - Calor ganho pelo anel de cobre (aquecendo de
- Igualando em módulo (calor ganho = calor perdido):
Resolvendo para
:
Passo 5
Substituo os valores numéricos (usando
ou o arredondado
). Vou usar
para máxima consistência com cálculo anterior e depois arredondar o resultado:
Calculo passo a passo:
- Numerador:
. Então (joules). - Denominador:
. Então . - Dividindo:
Convertendo para gramas:
(Arredondei para três algarismos significativos, coerente com os dados fornecidos.)
Passo 6
Verificação rápida (cheque mental):
- Temperatura de equilíbrio
está entre e , faz sentido. - A massa da esfera é menor que a massa do anel (6,80 g vs 20,0 g); devido a calor específico do aço e diferença de temperaturas iniciais, a ordem de grandeza faz sentido.
Resposta
(a)
(b)
(b)