Um anel é formado girando-se a área 360^{\circ} em torno do eixo \bar{x}-\bar{x}. Determine sua área de superfície.

Passo 1

O enunciado diz: “Um anel é formado girando-se a área 360^\circ em torno do eixo \bar{x}-\bar{x}. Determine sua área de superfície.”\n
Informações dadas explicitamente:
  • A área é girada 360^\circ (ou seja, uma volta completa) em torno do eixo \bar{x}-\bar{x}.\n
    Pergunta clara: determinar a área de superfície do sólido gerado por essa rotação.\n
    Informação que está faltando (e que é crucial): a descrição precisa da área plana que é rodada — por exemplo, a equação da curva que limita a área, ou medidas (raios, distâncias), ou uma figura com dimensões. Sem essa descrição não há dados suficientes para calcular a área de superfície.

Passo 2

O que seria necessário para poder calcular: preciso de uma das seguintes descrições da região plana que é girada
  • a equação y=f(x) e o intervalo a\le x\le b da curva que limita a área (ou das curvas que a delimitam), ou
  • uma parametrização da curva frontal (por exemplo (x(t),y(t)) para t_1\le t\le t_2), ou
  • uma figura com as medidas (por exemplo: “um círculo de raio r cujo centro está a distância R do eixo”), ou descrição equivalente.\n
    Sem isso não dá para obter um valor numérico ou uma expressão final específica.

Passo 3

Fórmula geral (caso a curva geradora seja o gráfico y=f(x) e se gire em torno do eixo x-axis): a área de superfície gerada por girar a curva y=f(x) de x=a até x=b em torno do eixo x é
S = 2\pi \int_{a}^{b} y \sqrt{1 + (y')^{2}}\; dx.
Explicando essa fórmula etapa por etapa, sem pressa:
  • y=f(x) é a distância vertical do ponto da curva até o eixo de rotação (assumimos que y\ge 0; se não, usamos a distância absoluta).
  • y'=\dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x.
  • Um pequeno trecho da curva tem comprimento aproximado ds = \sqrt{1+(y')^{2}}\;dx. Isso vem do teorema de Pitágoras aplicado ao incremento \Delta x e \Delta y.
  • Ao girar esse pequeno trecho ao redor do eixo, ele gera uma pequena faixa cuja área aproximada é a circunferência 2\pi y multiplicada pelo comprimento do trecho ds: área aproximada 2\pi y\, ds.
  • Soma-se essas fatias integrando 2\pi y\, ds = 2\pi y \sqrt{1+(y')^{2}}\,dx de a a b.

Passo 4

Forma paramétrica (quando a curva é dada por (x(t),y(t)) para t_1\le t\le t_2): a área é
S = 2\pi \int_{t_1}^{t_2} y(t)\,\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2}\; dt.
Explicação:
  • \sqrt{(x')^2+(y')^2}\,dt é o elemento de comprimento de arco ds da curva parametrizada.
  • Multiplica-se ds por 2\pi y(t) (circunferência descrita pelo ponto) e integra-se.

Passo 5

Caso especial muito comum (o “anel” descrito em muitos exercícios): se a área geradora for um círculo de raio r cujo centro está a uma distância R do eixo de rotação, o sólido obtido é um toro (anél toroidal). Para esse caso há uma fórmula simples (teorema de Pappus para área de superfície):\n
  • comprimento da curva geradora (circunferência do círculo): L = 2\pi r.\n
  • distância percorrida pelo centróide (centro do círculo) ao dar a volta em torno do eixo: D = 2\pi R.\n
    Pelo Teorema de Pappus a área de superfície vale produto S = L\cdot D. Logo
S = (2\pi r)\,(2\pi R) = 4\pi^{2} R r.
Aqui \,R é a distância do centro do círculo ao eixo de rotação e \,r é o raio do círculo gerador.

Passo 6

Resumo prático do que eu preciso que você me mande (se quiser que eu calcule um valor concreto):
  • ou a equação y=f(x) e o intervalo [a,b] da curva que delimita a área a ser girada;
  • ou a parametrização (x(t),y(t)) com o intervalo de t;
  • ou uma figura com as medidas (por exemplo: “círculo de raio r com centro a distância R do eixo”, ou "segmento entre as curvas y=f(x) e y=g(x) de x=a a x=b"), etc.\n
    Com qualquer uma dessas informações eu faço o cálculo passo a passo e ensino cada etapa.

Passo 7

Força aí — isso ainda tem jeito! Se o anel do enunciado for o toro padrão, a fórmula é simples e já dei acima. Se não for, manda a figura ou a equação que eu resolvo passo a passo pra você na mesma vibe calma e didática.

Resposta

Não é possível determinar a área de superfície porque não foi fornecida a descrição (figura ou equação) da área que é girada; se o anel for um toro obtido rotacionando um círculo de raio r com centro a distância R do eixo, então a área é 4\pi^{2}Rr.

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