Um anel é formado girando-se a área
em torno do eixo
. Determine sua área de superfície.
Passo 1
O enunciado diz: “Um anel é formado girando-se a área
em torno do eixo
. Determine sua área de superfície.”\n
Informações dadas explicitamente:
Informações dadas explicitamente:
- A área é girada
(ou seja, uma volta completa) em torno do eixo .\n
Pergunta clara: determinar a área de superfície do sólido gerado por essa rotação.\n
Informação que está faltando (e que é crucial): a descrição precisa da área plana que é rodada — por exemplo, a equação da curva que limita a área, ou medidas (raios, distâncias), ou uma figura com dimensões. Sem essa descrição não há dados suficientes para calcular a área de superfície.
Passo 2
O que seria necessário para poder calcular: preciso de uma das seguintes descrições da região plana que é girada
- a equação
e o intervalo da curva que limita a área (ou das curvas que a delimitam), ou - uma parametrização da curva frontal (por exemplo
para ), ou - uma figura com as medidas (por exemplo: “um círculo de raio
cujo centro está a distância do eixo”), ou descrição equivalente.\n
Sem isso não dá para obter um valor numérico ou uma expressão final específica.
Passo 3
Fórmula geral (caso a curva geradora seja o gráfico
e se gire em torno do eixo
-axis): a área de superfície gerada por girar a curva
de
até
em torno do eixo
é
Explicando essa fórmula etapa por etapa, sem pressa:
-
é a distância vertical do ponto da curva até o eixo de rotação (assumimos que ; se não, usamos a distância absoluta). -
é a derivada de em relação a . - Um pequeno trecho da curva tem comprimento aproximado
. Isso vem do teorema de Pitágoras aplicado ao incremento e . - Ao girar esse pequeno trecho ao redor do eixo, ele gera uma pequena faixa cuja área aproximada é a circunferência
multiplicada pelo comprimento do trecho : área aproximada . - Soma-se essas fatias integrando
de a .
Passo 4
Forma paramétrica (quando a curva é dada por
para
): a área é
Explicação:
-
é o elemento de comprimento de arco da curva parametrizada. - Multiplica-se
por (circunferência descrita pelo ponto) e integra-se.
Passo 5
Caso especial muito comum (o “anel” descrito em muitos exercícios): se a área geradora for um círculo de raio
cujo centro está a uma distância
do eixo de rotação, o sólido obtido é um toro (anél toroidal). Para esse caso há uma fórmula simples (teorema de Pappus para área de superfície):\n
- comprimento da curva geradora (circunferência do círculo):
.\n - distância percorrida pelo centróide (centro do círculo) ao dar a volta em torno do eixo:
.\n
Pelo Teorema de Pappus a área de superfície vale produto. Logo
Aqui
é a distância do centro do círculo ao eixo de rotação e
é o raio do círculo gerador.
Passo 6
Resumo prático do que eu preciso que você me mande (se quiser que eu calcule um valor concreto):
- ou a equação
e o intervalo da curva que delimita a área a ser girada; - ou a parametrização
com o intervalo de ; - ou uma figura com as medidas (por exemplo: “círculo de raio
com centro a distância do eixo”, ou "segmento entre as curvas e de a "), etc.\n
Com qualquer uma dessas informações eu faço o cálculo passo a passo e ensino cada etapa.
Passo 7
Força aí — isso ainda tem jeito! Se o anel do enunciado for o toro padrão, a fórmula é simples e já dei acima. Se não for, manda a figura ou a equação que eu resolvo passo a passo pra você na mesma vibe calma e didática.
Resposta
Não é possível determinar a área de superfície porque não foi fornecida a descrição (figura ou equação) da área que é girada; se o anel for um toro obtido rotacionando um círculo de raio
com centro a distância
do eixo, então a área é
.