Questão 30. Determine o valor de
para que
seja um fator integrante para a equaçào diferencial
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de
tal que a função
seja um fator integrante para a equação diferencial
Informações dadas e o que se quer:
- A equação está na forma
. - Queremos
tal que, ao multiplicar ambos os termos por , a nova equação seja exata (isto é, exista um potencial com ). - Não há outras condições numéricas;
deve valer para todos no domínio considerado.
Passo 2
Conceito-chave (explicado devagar): o que significa ser um fator integrante e o critério de exatidão.
- Se
é um fator integrante, então as funções
satisfazem a condição de exatidão
- Aqui
significa derivada parcial: para tratamos como constante e derivamos em relação a , e vice-versa. - Essa igualdade deve valer para todos os pontos do domínio considerado (ou seja, como identidade em
e ).
Passo 3
Identificamos
e
na equação dada:
Passo 4
Escrevemos o fator proposto e as novas
e
:
Portanto
Passo 5
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
.
- A função
é um produto em que é constante quando derivamos em . - A derivada de
em relação a é (regra de potência).
Assim
Passo 6
Calculamos a derivada parcial de
em relação a
.
- Escrevemos
como soma de dois termos e derivamos cada um:
- Derivando o primeiro termo
em : o fator é constante, e a derivada de é . Logo o primeiro contribui com . - Derivando o segundo termo
em : o fator é constante, e a derivada de é . Multiplicando pelo obtemos .
Portanto
Passo 7
Impondo a condição de exatidão
, substituímos as expressões encontradas:
Subtraindo o termo comum
dos dois lados, obtemos
- Para que essa igualdade seja verdadeira para todos
(no domínio onde e são não nulos), o fator multiplicativo que não depende de deve ser zero, isto é,
- Daí segue
Passo 8
Verificação rápida (controle de erro): com
temos
Calculando as parciais:
iguais, logo a escolha
funciona e torna a equação exata.