Questão 30. Determine o valor de \kappa para que \mu(x, y)=\frac{1}{x^{\kappa} y^{\kappa}} seja um fator integrante para a equaçào diferencial
y d x+x\left(1-3 x^{2} y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de \kappa tal que a função \mu(x,y)=\frac{1}{x^{\kappa} y^{\kappa}} seja um fator integrante para a equação diferencial
y\,dx + x\bigl(1-3x^{2}y^{2}\bigr)\,dy = 0.
Informações dadas e o que se quer:
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
  • Queremos \kappa tal que, ao multiplicar ambos os termos por \mu(x,y), a nova equação seja exata (isto é, exista um potencial F(x,y) com dF=0).
  • Não há outras condições numéricas; \kappa deve valer para todos x,y no domínio considerado.

Passo 2

Conceito-chave (explicado devagar): o que significa ser um fator integrante e o critério de exatidão.
  • Se \mu(x,y) é um fator integrante, então as funções
\widetilde{M}(x,y)=\mu(x,y)M(x,y) \qquad\text{e}\qquad \widetilde{N}(x,y)=\mu(x,y)N(x,y)
satisfazem a condição de exatidão
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}.
  • Aqui \partial significa derivada parcial: para \partial \widetilde{M}/\partial y tratamos x como constante e derivamos em relação a y, e vice-versa.
  • Essa igualdade deve valer para todos os pontos do domínio considerado (ou seja, como identidade em x e y).

Passo 3

Identificamos M e N na equação dada:
M(x,y)=y, \qquad N(x,y)=x\bigl(1-3x^{2}y^{2}\bigr)=x-3x^{3}y^{2}.

Passo 4

Escrevemos o fator proposto e as novas \widetilde{M} e \widetilde{N}:
\mu(x,y)=\frac{1}{x^{\kappa} y^{\kappa}}=x^{-\kappa}y^{-\kappa}.
Portanto
\widetilde{M}(x,y)=\mu M = x^{-\kappa}y^{-\kappa}\cdot y = x^{-\kappa}y^{1-\kappa},
\widetilde{N}(x,y)=\mu N = x^{-\kappa}y^{-\kappa}\bigl(x-3x^{3}y^{2}\bigr) = x^{1-\kappa}y^{-\kappa}-3x^{3-\kappa}y^{2-\kappa}.

Passo 5

Calculamos a derivada parcial de \widetilde{M} em relação a y.
  • A função \widetilde{M}(x,y)=x^{-\kappa}y^{1-\kappa} é um produto em que x^{-\kappa} é constante quando derivamos em y.
  • A derivada de y^{1-\kappa} em relação a y é (1-\kappa)y^{-\kappa} (regra de potência).
    Assim
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y} = x^{-\kappa}\cdot(1-\kappa)y^{-\kappa} = (1-\kappa)x^{-\kappa}y^{-\kappa}.

Passo 6

Calculamos a derivada parcial de \widetilde{N} em relação a x.
  • Escrevemos \widetilde{N} como soma de dois termos e derivamos cada um:
\widetilde{N}(x,y)=x^{1-\kappa}y^{-\kappa}-3x^{3-\kappa}y^{2-\kappa}.
  • Derivando o primeiro termo x^{1-\kappa}y^{-\kappa} em x: o fator y^{-\kappa} é constante, e a derivada de x^{1-\kappa} é (1-\kappa)x^{-\kappa}. Logo o primeiro contribui com (1-\kappa)x^{-\kappa}y^{-\kappa}.
  • Derivando o segundo termo -3x^{3-\kappa}y^{2-\kappa} em x: o fator y^{2-\kappa} é constante, e a derivada de x^{3-\kappa} é (3-\kappa)x^{2-\kappa}. Multiplicando pelo -3 obtemos -3(3-\kappa)x^{2-\kappa}y^{2-\kappa}.
    Portanto
\frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x} = (1-\kappa)x^{-\kappa}y^{-\kappa} - 3(3-\kappa)x^{2-\kappa}y^{2-\kappa}.

Passo 7

Impondo a condição de exatidão \partial \widetilde{M}/\partial y = \partial \widetilde{N}/\partial x, substituímos as expressões encontradas:
(1-\kappa)x^{-\kappa}y^{-\kappa} = (1-\kappa)x^{-\kappa}y^{-\kappa} - 3(3-\kappa)x^{2-\kappa}y^{2-\kappa}.
Subtraindo o termo comum (1-\kappa)x^{-\kappa}y^{-\kappa} dos dois lados, obtemos
0 = -3(3-\kappa)x^{2-\kappa}y^{2-\kappa}.
  • Para que essa igualdade seja verdadeira para todos x,y (no domínio onde x e y são não nulos), o fator multiplicativo que não depende de x,y deve ser zero, isto é,
-3(3-\kappa)=0.
  • Daí segue
3-\kappa=0 \quad\Rightarrow\quad \kappa=3.

Passo 8

Verificação rápida (controle de erro): com \kappa=3 temos
\widetilde{M}=x^{-3}y^{-2},\qquad \widetilde{N}=x^{-2}y^{-3}-3x^{0}y^{-1}.
Calculando as parciais:
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}= -2 x^{-3}y^{-3}, \qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}= -2 x^{-3}y^{-3},
iguais, logo a escolha \kappa=3 funciona e torna a equação exata.

Resposta

\kappa=3

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