A chuva máxima com duração igual a 25 min para um posto pluviográfico é igual a 130 mm , considerando-se um tempo de retorno de 100 anos. Pede-se determinar a chuva efetiva distribuída no tempo em intervalos de 5 min , para uma área igual a 30 \mathrm{km}^{2}, sabendo-se que o posto pluviográfico citado é a única fonte de dado de precipitação existente. (Considerar CN = 45)

Passo 1

O enunciado dá uma chuva máxima de duração igual a 25 minutos com intensidade total (profundidade) igual a \,130\\ \mathrm{mm}\, (tempo de retorno 100 anos) registrada num único posto pluviográfico. Pede-se determinar a chuva efetiva distribuída no tempo em intervalos de \,5\\ \mathrm{min}\, para uma bacia com área igual a \,30\\ \mathrm{km}^2. Foi fornecido o número de curva \mathrm{CN}=45.
Informações relevantes listadas:
\,P_{total}=130\\ \mathrm{mm}\,, duração total =25\\ \mathrm{min}, intervalos de 5\\ \mathrm{min} (logo teremos 5 intervalos), área A=30\\ \mathrm{km}^2, \mathrm{CN}=45.
Observação: só existe esse único dado de precipitação (profundidade total em 25 min) — não há hidrograma detalhado. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Decisão do método (por que usar o método adotado): com apenas a profundidade total de chuva e sem forma do hyetograph fornecida, a escolha prática e ensinada em aulas é assumir uma distribuição temporal simples (a mais básica é a distribuição uniforme) e aplicar o método SCS-CN para transformar chuva em chuva efetiva (runoff) incremental. Isso é permitido em provas quando falta o hyetograph e está disponível o \mathrm{CN}. Vou, portanto: (1) repartir a chuva total igualmente em 5 intervalos de 5\\ \mathrm{min} (hipótese uniforme), (2) usar a fórmula SCS-CN para calcular a chuva efetiva cumulada a cada instante, e (3) obter a chuva efetiva incremental por diferença entre cumulativos. Vou explicar a teoria SCS-CN antes de aplicar.

Passo 3

Aula rápida sobre o método SCS-CN (o que é e como usar):
  • O método SCS relaciona chuva ( P) com chuva efetiva (escoamento direto) (P_e) por meio da conservação do armazenamento caracterizado pela capacidade de retenção S (em mm).
  • Fórmula para S em milímetros:
S = \frac{25400}{\mathrm{CN}} - 254
onde \mathrm{CN} é o número de curva (valor adimensional entre 0 e 100).
  • A abstração inicial (retenção inicial + evaporação inicial etc.), geralmente adotada, é
I_a = 0{,}2\,S.
  • Para P \le I_a temos P_e=0. Para P > I_a a chuva efetiva cumulada é dada por:
P_e = \frac{(P - I_a)^2}{P - I_a + S}.
Aqui P e P_e são profundidades cumuladas de chuva e de escoamento, respectivamente, em mm. Essa fórmula dá P_e cumulada até um instante com chuva acumulada P. Para obter escoamento incremental num intervalo, calcula-se P_e cumulada no fim do intervalo e subtrai-se o P_e cumulada no fim do intervalo anterior.
Agora aplicamos essas fórmulas com \mathrm{CN}=45.

Passo 4

Cálculo de S e I_a com \mathrm{CN}=45:
S = \frac{25400}{45} - 254 = 310{,}444444\\ \mathrm{mm}.
I_a = 0{,}2\,S = 62{,}0888889\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: enquanto a chuva acumulada P for menor que \,62{,}09\\ \mathrm{mm}\, não haverá escoamento direto segundo o modelo SCS.

Passo 5

Hipótese de distribuição temporal da chuva: como só temos a profundidade total em 25 min, assumimos intensidade uniforme. Então a chuva total \,130\\ \mathrm{mm}\, distribuída em 5 intervalos iguais de 5 min dá chuva por intervalo:
\Delta P_{\text{intervalo}}=\frac{130}{5}=26\\ \mathrm{mm}.
Cumulativos P ao final de cada intervalo de 5 min:
P_1=26,\quad P_2=52,\quad P_3=78,\quad P_4=104,\quad P_5=130\\ \\ (\mathrm{mm}).

Passo 6

Aplicar a fórmula SCS para cada P_i (cumulada) e obter P_{e,i} cumulada:
  • Para P_1=26\\ \mathrm{mm}: P_1<I_a\Rightarrow P_{e,1}=0.
  • Para P_2=52\\ \mathrm{mm}: P_2<I_a\Rightarrow P_{e,2}=0.
  • Para P_3=78\\ \mathrm{mm}: como P_3>I_a,
P_{e,3}=\frac{(78 - 62{,}0888889)^2}{78 - 62{,}0888889 + 310{,}444444} = \frac{15{,}9111111^2}{15{,}9111111 + 310{,}444444} \approx 0{,}776\\ \mathrm{mm}.
  • Para P_4=104\\ \mathrm{mm}:
P_{e,4}=\frac{(104 - 62{,}0888889)^2}{104 - 62{,}0888889 + 310{,}444444} = \frac{41{,}9111111^2}{41{,}9111111 + 310{,}444444} \approx 4{,}986\\ \mathrm{mm}.
  • Para P_5=130\\ \mathrm{mm}:
P_{e,5}=\frac{(130 - 62{,}0888889)^2}{130 - 62{,}0888889 + 310{,}444444} = \frac{67{,}9111111^2}{67{,}9111111 + 310{,}444444} \approx 12{,}189\\ \mathrm{mm}.
Resumo dos P_{e} cumulados (arredondados):
P_{e,1}=0,\quad P_{e,2}=0,\quad P_{e,3}=0{,}776,\quad P_{e,4}=4{,}986,\quad P_{e,5}=12{,}189\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Calcular a chuva efetiva incremental em cada intervalo de 5 min (diferença dos cumulativos):
\begin{aligned} \Delta P_{e,1} &= P_{e,1}-P_{e,0}=0-0=0\\ \mathrm{mm},\\\ \Delta P_{e,2} &= P_{e,2}-P_{e,1}=0-0=0\\ \mathrm{mm},\\\ \Delta P_{e,3} &= P_{e,3}-P_{e,2}=0{,}776-0=0{,}776\\ \mathrm{mm},\\\ \Delta P_{e,4} &= P_{e,4}-P_{e,3}=4{,}986-0{,}776=4{,}210\\ \mathrm{mm},\\\ \Delta P_{e,5} &= P_{e,5}-P_{e,4}=12{,}189-4{,}986=7{,}203\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}
Verificação rápida: soma dos incrementos =0{,}776+4{,}210+7{,}203=12{,}189\\ \mathrm{mm}, igual ao P_{e,5} cumulativo — consistente.

Passo 8

Converter profundidades efetivas incrementais em volumes na bacia de área A=30\\ \mathrm{km}^2. Conversão: \,1\\ \mathrm{mm} sobre \,1\\ \mathrm{m}^2 corresponde a 0{,}001\\ \mathrm{m}^3. Logo
V = \Delta P_e\\ (\mathrm{mm}) \times A\\ (\mathrm{m}^2) \div 1000.
Como A=30\\ \mathrm{km}^2 = 30\times10^6\\ \mathrm{m}^2, temos fator A/1000 = 30000. Então volumes por intervalo:
\begin{aligned} V_1 &= 0\times 30000 = 0\\ \mathrm{m}^3,\\\ V_2 &= 0\times 30000 = 0\\ \mathrm{m}^3,\\\ V_3 &= 0{,}776\times 30000 = 23280\\ \mathrm{m}^3,\\\ V_4 &= 4{,}210\times 30000 = 126300\\ \mathrm{m}^3,\\\ V_5 &= 7{,}203\times 30000 = 216090\\ \mathrm{m}^3. \end{aligned}

Passo 9

Calcular a vazão média em cada intervalo (média no intervalo de 5 min): dividir o volume do intervalo pelo tempo em segundos. Como 5\\ \mathrm{min}=300\\ \mathrm{s},
Q_{\text{média}} = \frac{V}{300}.é
Assim:
\begin{aligned} Q_1 &= 0/300=0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\\\ Q_2 &= 0/300=0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\\\ Q_3 &= 23280/300 \approx 77{,}6\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\\\ Q_4 &= 126300/300 \approx 421{,}0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s},\\\ Q_5 &= 216090/300 \approx 720{,}3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. \end{aligned}

Resposta

Intervalo 1 (0–5 min): \Delta P_e=0{,}000\\ \mathrm{mm};; V=0\\ \mathrm{m}^3;; Q_{\text{méd}}=0{,}0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}é
Intervalo 2 (5–10 min): \Delta P_e=0{,}000\\ \mathrm{mm};; V=0\\ \mathrm{m}^3;; Q_{\text{méd}}=0{,}0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}é
Intervalo 3 (10–15 min): \Delta P_e=0{,}776\\ \mathrm{mm};; V=23\,280\\ \mathrm{m}^3;; Q_{\text{méd}}=77{,}6\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}é
Intervalo 4 (15–20 min): \Delta P_e=4{,}210\\ \mathrm{mm};; V=126\,300\\ \mathrm{m}^3;; Q_{\text{méd}}=421{,}0\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}é
Intervalo 5 (20–25 min): \Delta P_e=7{,}203\\ \mathrm{mm};; V=216\,090\\ \mathrm{m}^3;; Q_{\text{méd}}=720{,}3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}é

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