Um anel de latão ( alpha=19 times 10^-6 ^circ C^-1 ) com diâmetro interno de 50,000 mm a 20,0^circ C deve ser encaixado em um eixo de aço (alpha=12 times 10^-6 ^circ C^-1) com diâmetro de 50,050 mm na mesma temperatura.
a) Qual material se expandirá mais relativamente?
b) Se ambos forem aquecidos igualmente, qual deve ser a temperatura mínima para que o anel deslize sobre o eixo?

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que a gente tem um anel de latão com α₁ = 19×10⁻⁶ °C⁻¹ e diâmetro interno D₁₀ = 50,000 mm a 20 °C, e um eixo de aço com α₂ = 12×10⁻⁶ °C⁻¹ e diâmetro D₂₀ = 50,050 mm também a 20 °C. A matéria aqui é dilatação térmica linear e vamos precisar da fórmula
D = D0,(1 + alpha,De
para calcular como cada diâmetro muda com a temperatura. Primeiro vamos decidir qual expande mais relativamente (parte a) e depois achar ΔT mínimo para o anel caber no eixo aquecidos (parte b).

Passo 2

Parte (a): “Qual material se expande mais relativamente?”
Na dilatação linear quem manda é o coeficiente α. Quanto maior α, maior a variação relativa por grau. Aqui:
– Latão: α₁ = 19×10⁻⁶ °C⁻¹
– Aço: α₂ = 12×10⁻⁶ °C⁻¹
Como 19×10⁻⁶ > 12×10⁻⁶, o latão expande mais relativamente.

Passo 3

Parte (b): “A que temperatura mínima o anel desliza sobre o eixo?”
Queremos que, depois de aquecer ΔT, o diâmetro interno do anel (D₁) seja pelo menos igual ao diâmetro do eixo (D₂). Isso dá a condição:
D1 = D10,(1 + alpha1,De=; D20,(1 + alpha2,De
Substituindo valores (tudo em mm):
50,000,(1 + 19times10^-6,De

Passo 4

Agora é só resolver para ΔT:
  1. Expande ambos os lados:
    50 000 + 50 000·19×10⁻⁶ ΔT = 50 050 + 50 050·12×10⁻⁶ ΔT
  2. Calcula os coeficientes:
    50 000 + 0,00095 ΔT = 50 050 + 0,0006006 ΔT
  3. Isola ΔT:
    0,00095 ΔT − 0,0006006 ΔT = 50 050 − 50 000
    0,0003494 ΔT = 0,05
    ΔT ≈ 0,05 / 0,0003494 ≈ 143 °C
Isso é o aumento de temperatura a partir dos 20 °C iniciais.

Resposta

a) O latão expande mais relativamente.
b) É preciso aquecer cerca de ΔT ≈ 143 °C, ou seja, chegar a T ≈ 20 °C + 143 °C = 163 °C para o anel deslizar no eixo.

Exercícios relacionados