1. O ângulo limite para determinado par de meios é 45^{\circ}. Determine o índice de refração relativo entre eles.
    Dado: \operatorname{sen} 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 1

O enunciado afirma que o ângulo limite (ângulo crítico) entre dois meios é 45^\circ e pede para determinar o índice de refração relativo entre eles. Informação fornecida explicitamente:
  • ângulo limite (ângulo crítico): \theta_c = 45^\circ;
  • \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 2

O que é o ângulo crítico e por que ele aparece? Vou explicar passo a passo, como se estivéssemos estudando juntos para a prova.
Quando um raio de luz vai de um meio para outro, a direção muda conforme a Lei de Snell. Essa lei diz que a relação entre os índices de refração e os senos dos ângulos de incidência e refração é:
n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2,
onde:
  • n_1 é o índice de refração do meio onde o raio incide (o meio de onde o raio sai);
  • n_2 é o índice de refração do meio onde o raio entra;
  • \theta_1 é o ângulo de incidência (medido em relação à normal);
  • \theta_2 é o ângulo de refração (medido em relação à normal).
O ângulo crítico \theta_c ocorre quando a refração acontece exatamente tangente à superfície do segundo meio, isto é, quando \theta_2 = 90^\circ. Esse fenômeno só ocorre quando o raio vai de um meio mais refringente (maior n) para um menos refringente (menor n); então assumimos n_1 > n_2.

Passo 3

Agora aplicamos a Lei de Snell ao caso do ângulo crítico. Tomando \theta_1=\theta_c e \theta_2=90^\circ (logo \sin\theta_2=\sin 90^\circ=1), temos:
n_1 \sin\theta_c = n_2 \cdot 1 = n_2.
Isolando a razão dos índices, obtemos a expressão do índice de refração relativo (do segundo em relação ao primeiro):
\frac{n_2}{n_1} = \sin\theta_c.
Aqui deixei claro o que significa cada símbolo: \dfrac{n_2}{n_1} é o índice de refração relativo do meio 2 em relação ao meio 1 (ou seja, a razão dos índices).

Passo 4

Substituímos o valor dado de \theta_c. Como \theta_c=45^\circ e foi dado que \sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, temos:
\frac{n_2}{n_1} = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Interpretando: isso significa que o segundo meio tem índice de refração igual a \dfrac{\sqrt{2}}{2} vezes o índice do primeiro meio. Se, por exemplo, alguém quiser o inverso \dfrac{n_1}{n_2}, é só inverter: \dfrac{n_1}{n_2} = \dfrac{1}{\sin 45^\circ} = \sqrt{2}.

Resposta

\dfrac{n_2}{n_1}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

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