O ângulo de torção de um eixo de L=1,3 m não pode exceder a 5^circ quando um torque de 800 N for aplicado. Se G=760 GPa, determine o diâmetro necessário para o eixo.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para determinarmos o diâmetro necessário de um eixo que não pode sofrer um ângulo de torção maior que 5° quando submetido a um torque de 800 N·m. Estamos trabalhando com os conceitos de torção em eixos circulares, que fazem parte da matéria de Mecânica dos Materiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona o torque aplicado, o comprimento do eixo, o módulo de elasticidade de cisalhamento (G) e o diâmetro do eixo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula que relaciona o ângulo de torção ($ \theta theta T T L L ó G G é J $). A fórmula é:
J
Aqui, $ \theta $ deve estar em radianos para usar na fórmula.

Passo 3

Vamos converter o ângulo de torção de graus para radianos, já que a fórmula requer radianos. Sabemos que:
1^circ = pi180 radianos
Portanto:
theta = 5^circ times pi180 = pi36 radianos

Passo 4

Agora, precisamos expressar o momento polar de inércia $ J $ para um eixo circular. A fórmula para $ J $ de um círculo é:
J
Onde $ d $ é o diâmetro do eixo que queremos encontrar.

Passo 5

Substituímos $ J $ na fórmula original para a torção:
J
Vamos reorganizar essa equação para resolver $ d $:
theta = T cdot L( pi d^432 ) cdot G

Passo 6

Isolando $ d^4 $:
d^4
Agora, vamos resolver para $ d $:
d^4 = 32 T Lpi G theta

Passo 7

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • $ T = 800 , N·m $
  • $ L = 1,3 , m $
  • $ G = 760 , GPa = 760 \times 10^9 , Pa $
  • $ \theta = \frac{\pi}{36} , radianos $
Substituindo:
T = 800 , N·m

Passo 8

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, calculamos o numerador:
32 times 800 times 1,3 = 33.280
Agora, o denominador:
pi times 760 times 10^9 times pi36 = pi^2 times 760 times 10^936 approx 9,8696 times 760 times 10^936 approx 7,506 times 10^1236 approx 2,085 times 10^11
Então:
d = ( 33.2802,085 times 10^11 )^14 = ( 1,595 times 10^-7 )^14 approx 0,010 , m

Resposta

O diâmetro necessário para o eixo é aproximadamente 10 mm.

Exercícios relacionados