O ângulo de torção de um eixo de
não pode exceder a
quando um torque de 800 N for aplicado. Se
, determine o diâmetro necessário para o eixo.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede para determinarmos o diâmetro necessário de um eixo que não pode sofrer um ângulo de torção maior que 5° quando submetido a um torque de 800 N·m. Estamos trabalhando com os conceitos de torção em eixos circulares, que fazem parte da matéria de Mecânica dos Materiais. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula que relaciona o torque aplicado, o comprimento do eixo, o módulo de elasticidade de cisalhamento (G) e o diâmetro do eixo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a fórmula que relaciona o ângulo de torção ($ \theta
T
L
G
J $). A fórmula é:
Aqui, $ \theta $ deve estar em radianos para usar na fórmula.
Passo 3
Vamos converter o ângulo de torção de graus para radianos, já que a fórmula requer radianos. Sabemos que:
Portanto:
Passo 4
Agora, precisamos expressar o momento polar de inércia $ J $ para um eixo circular. A fórmula para $ J $ de um círculo é:
Onde $ d $ é o diâmetro do eixo que queremos encontrar.
Passo 5
Substituímos $ J $ na fórmula original para a torção:
Vamos reorganizar essa equação para resolver $ d $:
Passo 6
Isolando $ d^4 $:
Agora, vamos resolver para $ d $:
Passo 7
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
- $ T = 800 , N·m $
- $ L = 1,3 , m $
- $ G = 760 , GPa = 760 \times 10^9 , Pa $
- $ \theta = \frac{\pi}{36} , radianos $
Substituindo:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, calculamos o numerador:
Agora, o denominador:
Então:
Resposta
O diâmetro necessário para o eixo é aproximadamente 10 mm.