Antes de uma eleição, um partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 50 revelou que 70 \% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão.
a) Determine o tamanho da amostra para que o erro cometido na estimação seja de, no máximo, 0,01 com probabilidade de 90 \%.
b) Se na amostra final, com tamanho igual ao obtido em a, observou-se que 50 \% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão, construa um intervalo com confiança 90 \% para p.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma proporção desconhecida p e uma amostra piloto de tamanho n_{0}=50 que deu \hat p_{0}=0,7. Queremos escolher n tal que
\Pr\bigl(|\hat p - p|\le0,01\bigr)\approx0,90. O conteúdo aqui é estimação de proporção pela aproximação normal (CLT).

Passo 2

Pela CLT, para amostras grandes vale
\hat p \approx N\!\Bigl(p,\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\Bigr).
Para nível de confiança 0,90 temos \alpha=0,10 e z_{1-\alpha/2}=z_{0,95}=1,645. A margem de erro desejada é E=0,01 e, impondo
z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\le E,
segue que
n\ge \frac{z_{1-\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.

Passo 3

Substituindo p\approx\hat p_{0}=0,7, z_{1-\alpha/2}=1,645 e E=0,01,
n\ge \frac{1,645^{2}\times0,7\times0,3}{0,01^{2}}\approx5682{,}6.
Arredondando para cima, obtemos
n=5683.

Passo 4

Agora, na amostra final de tamanho n=5683 observou-se \hat p=0,5. O intervalo de confiança de 90\% para p é
\hat p \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.
Calculamos
\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}} =\sqrt{\frac{0,5\times0,5}{5683}}\approx0,006633,
\text{ME}=1,645\times0,006633\approx0,0109.

Passo 5

Portanto o intervalo é
0,5\pm0,0109
isto é
(0,4891,\;0,5109).

Resposta

(a) n=5683
(b) Intervalo de confiança 90\%: (0,4891,\,0,5109).

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