Uma empresa emprega 200 pessoas. Numa amostra aleatória de 25 notas de despesas numa semana de dezembro, um auditor constatou uma despesa média de 220 u.m. com desvio padrão de 20 u.m.
a) Qual é a estimativa intervalar com 99 \% de confiança para a despesa média da empresa com seus empregados ?
b) Qual é a estimativa intervalar com a mesma confiança para a despesa total da empresa com seus 200 empregados?

Passo 1

O enunciado informa que a população tem N=200 empregados, fez-se uma amostra de tamanho n=25 e obteve-se média amostral \bar x=220 u.m. e desvio padrão amostral s=20 u.m. Precisamos de um intervalo de confiança de 99\% para a despesa média \mu e, em seguida, para o total T=N\mu. Vamos usar o IC para média baseada na distribuição t com correção de população finita (fpc).

Passo 2

Os graus de liberdade são \nu=n-1=24. Para nível de confiança de 99\%, \alpha=0,01 e
t_{1-\alpha/2,\;\nu} = t_{0,995,\;24} \approx 2,797.

Passo 3

O fator de correção para população finita (fpc) é
\text{fpc} =\sqrt{\frac{N-n}{\,N-1\,}} =\sqrt{\frac{200-25}{\,200-1\,}} =\sqrt{\frac{175}{199}} \approx 0,937.

Passo 4

O erro-padrão amostral é
\mathrm{EP} =\frac{s}{\sqrt{n}} =\frac{20}{\sqrt{25}} =4.
Aplicando a fpc:
\mathrm{EP}_{\mathrm{corr}} =\mathrm{EP}\times\text{fpc} \approx 4\times0,937 =3,748.

Passo 5

A margem de erro é
E = t_{0,995,24}\;\mathrm{EP}_{\mathrm{corr}} \approx 2,797\times3,748 \approx 10,48.
Logo o intervalo de 99\% para \mu é
IC_{99\%}(\mu) =\bigl[\;220 - 10,48,\;220 + 10,48\;\bigr] \approx [209,52,\;230,48]\text{ u.m.}

Passo 6

Para estimar o total T=200\,\mu, basta multiplicar os limites por 200:
IC_{99\%}(T) =\bigl[\,200\times209,52,\;200\times230,48\bigr] =[41904,\;46096]\text{ u.m.}

Resposta

a) IC_{99\%}(\mu) \approx [209,52;\,230,48] u.m.
b) IC_{99\%}(T) \approx [41904;\,46096] u.m.

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