Antes do padrão Mercosul, as placas de carro eram compostas por \mathbf{3} letras seguidas de \mathbf{4} algarismos. Até quantas placas distintas poderiam existir?

Passo 1

O enunciado diz que, antes do padrão Mercosul, cada placa tinha exatamente três letras seguidas de quatro algarismos. A pergunta é: até quantas placas distintas poderiam existir?
Informações dadas:
  • 3 posições para letras (cada posição é uma letra do alfabeto).
  • 4 posições para algarismos (cada posição é um dígito de 0 a 9).
  • Presume-se que letras e dígitos podem repetir (por exemplo, “AAA0000” é permitido).

Passo 2

Conceito que vamos usar (regra do produto): se um objeto é formado por uma sequência de escolhas independentes e a primeira escolha pode ser feita de a maneiras, a segunda de b maneiras, a terceira de c maneiras, e assim por diante, então o número total de objetos possíveis é
a\cdot b\cdot c\cdots.
Explicando com muita calma: “independentes” significa que a escolha feita em uma posição não restringe as possibilidades das outras — por exemplo, escolher a letra da primeira posição não tira letras das outras posições se repetição é permitida. Vou dar um mini-exemplo: se tivéssemos 2 letras e 2 dígitos, o total seria 26^2\cdot 10^2 (porque cada uma das duas posições de letra tem 26 opções e cada posição de dígito tem 10 opções).

Passo 3

Quantas opções para as letras? Cada posição de letra pode ser qualquer uma das 26 letras do alfabeto (assumindo o alfabeto inglês com 26 letras). Como há 3 posições e repetição é permitida, o número de combinações de letras é
26^3.
Vamos calcular passo a passo:
26^2 = 26\cdot 26 = 676,
26^3 = 676\cdot 26 = 676\cdot 20 + 676\cdot 6 = 13\,520 + 4\,056 = 17\,576.

Passo 4

Quantas opções para os algarismos? Cada posição de algarismo pode ser um dos 10 dígitos 0,1,\dots,9. Como há 4 posições e repetição é permitida, o número de combinações de dígitos é
10^4 = 10\,000.
Observação prática: placas como “ABC0001” são válidas — zeros à esquerda nos algarismos não eliminam combinações.

Passo 5

Agora usamos a regra do produto: o total de placas é o produto do número de escolhas para as letras pelo número de escolhas para os dígitos:
26^3\cdot 10^4 = 17\,576\cdot 10\,000.
Multiplicar por 10\,000 é simplesmente acrescentar quatro zeros ao final de 17\,576, portanto
17\,576\cdot 10\,000 = 175\,760\,000.

Resposta

175760000

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