Binômio de Newton
Determine o coeficiente de
no desenvolvimento de
.
Determine o coeficiente de
Passo 1
O enunciado pede para determinar o coeficiente de
no desenvolvimento de
.
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão a desenvolver é
. - Queremos o coeficiente do termo que contenha exatamente a potência
. - O expoente do binómio é
. - Os dois termos do binómio são
e (note o sinal menos).
Passo 2
Escolha do método: vamos usar o Teorema Binomial (Binômio de Newton), que dá diretamente a fórmula do termo geral em um desenvolvimento
. Isso é o método mais direto aqui porque o binómio tem expoente inteiro pequeno (
) e queremos um único coeficiente de potência específica; o Teorema Binomial nos fornece o termo geral em função de um índice
que podemos ajustar para obter a potência desejada.
Passo 3
Enunciado do Teorema Binomial (forma que vamos usar):
Explicando cada símbolo:
-
é o expoente do binómio (aqui ). -
é o índice de somação que vai de até ; cada corresponde a um termo no desenvolvimento. -
é o coeficiente binomial, que vale . -
são as potências dos dois termos originais após escolher .
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: identifique
e
:
O termo correspondente a um dado
(com
) é
Agora vamos simplificar
. Primeiro simplificamos a parte em potências de
:
Multiplicando os fatores de
,
Portanto o termo geral fica
Aqui,
é o coeficiente (numérico) do termo cuja potência de
é
.
Passo 5
Queremos o coeficiente do termo em
. Logo devemos resolver para
na igualdade entre o expoente em
e
:
Resolvendo:
Portanto apenas o termo com
produz
. (Isto também garante unicidade: como
é inteiro entre
e
, só
funciona.)
Passo 6
Agora calcule o coeficiente numérico correspondente a
:
Calcule
:
Efetuando as simplificações passo a passo:
Podemos simplificar
e
, então
Como
, o coeficiente numérico é
Passo 7
Conclusão final: o único termo que produz
é o correspondente a
e seu coeficiente é
. Fica também a dica prática para a prova: escreva sempre o termo geral, iguale o expoente desejado, resolva para
e então calcule o binomial — é curto, seguro e rápido.
Resposta
-126