Binômio de Newton
Determine o coeficiente de x^{2} no desenvolvimento de \left(x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right)^{9}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o coeficiente de x^{2} no desenvolvimento de \left(x^{3}-\frac{1}{x^{2}}\right)^{9}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão a desenvolver é \left(x^{3}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{9}.
  • Queremos o coeficiente do termo que contenha exatamente a potência x^{2}.
  • O expoente do binómio é 9.
  • Os dois termos do binómio são x^{3} e -\dfrac{1}{x^{2}} (note o sinal menos).

Passo 2

Escolha do método: vamos usar o Teorema Binomial (Binômio de Newton), que dá diretamente a fórmula do termo geral em um desenvolvimento (a+b)^{n}. Isso é o método mais direto aqui porque o binómio tem expoente inteiro pequeno ( n=9) e queremos um único coeficiente de potência específica; o Teorema Binomial nos fornece o termo geral em função de um índice k que podemos ajustar para obter a potência desejada.

Passo 3

Enunciado do Teorema Binomial (forma que vamos usar):
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}.
Explicando cada símbolo:
  • n é o expoente do binómio (aqui n=9).
  • k é o índice de somação que vai de 0 até n; cada k corresponde a um termo no desenvolvimento.
  • \binom{n}{k} é o coeficiente binomial, que vale \dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
  • a^{\,n-k}b^{\,k} são as potências dos dois termos originais após escolher k.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: identifique a e b:
a = x^{3},\qquad b = -\dfrac{1}{x^{2}},\qquad n=9.
O termo correspondente a um dado k (com k=0,1,\dots,9) é
T_k=\binom{9}{k}\,(x^{3})^{\,9-k}\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{k}.
Agora vamos simplificar T_k. Primeiro simplificamos a parte em potências de x:
(x^{3})^{\,9-k}=x^{3(9-k)}=x^{27-3k},
\left(-\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{k}=(-1)^{k}\,x^{-2k}.
Multiplicando os fatores de x,
x^{27-3k}\cdot x^{-2k}=x^{27-3k-2k}=x^{27-5k}.
Portanto o termo geral fica
T_k=\binom{9}{k}(-1)^{k}x^{27-5k}.
Aqui, \binom{9}{k}(-1)^{k} é o coeficiente (numérico) do termo cuja potência de x é 27-5k.

Passo 5

Queremos o coeficiente do termo em x^{2}. Logo devemos resolver para k na igualdade entre o expoente em T_k e 2:
27-5k=2.
Resolvendo:
27-5k=2 \quad\Rightarrow\quad 5k=27-2=25 \quad\Rightarrow\quad k=5.
Portanto apenas o termo com k=5 produz x^{2}. (Isto também garante unicidade: como k é inteiro entre 0 e 9, só k=5 funciona.)

Passo 6

Agora calcule o coeficiente numérico correspondente a k=5:
\text{coeficiente}=\binom{9}{5}(-1)^{5}.
Calcule \binom{9}{5}:
\binom{9}{5}=\frac{9!}{5!\,4!}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Efetuando as simplificações passo a passo:
\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1} = \frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{24} = \frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{24}.
Podemos simplificar 8\cdot6=48 e 48/24=2, então
\binom{9}{5}=9\cdot2\cdot7=9\cdot14=126.
Como (-1)^{5}=-1, o coeficiente numérico é
126\cdot(-1)=-126.

Passo 7

Conclusão final: o único termo que produz x^{2} é o correspondente a k=5 e seu coeficiente é -126. Fica também a dica prática para a prova: escreva sempre o termo geral, iguale o expoente desejado, resolva para k e então calcule o binomial — é curto, seguro e rápido.

Resposta

-126

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