Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções:
F(x)=\frac{x^{2}+4 x+1}{(x+1)\left(x^{2}+4 x+5\right)}

Passo 1

O enunciado pede que eu faça a decomposição em frações parciais da função racional
F(x)=\frac{x^{2}+4x+1}{(x+1)\left(x^{2}+4x+5\right)}.
Informações relevantes dadas:
\text{numerador: }x^{2}+4x+1, \qquad \text{denominador: }(x+1)\bigl(x^{2}+4x+5\bigr).
O denominador é produto de um fator linear \,(x+1)\, e de um fator quadrático \,x^{2}+4x+5, que não se fatora em reias (veremos a forma irreduzível). A tarefa é escrever F(x) como soma de frações mais simples (frações parciais), úteis para cálculos de transformadas inversas.

Passo 2

Motivação e forma geral da decomposição: como o denominador tem um fator linear distinto e um fator quadrático irreduzível, a forma padrão da decomposição é
\frac{x^{2}+4x+1}{(x+1)\left(x^{2}+4x+5\right)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^{2}+4x+5},
onde A,B,C são constantes a determinar. Essa forma é a escolha padrão porque para cada fator linear usamos uma constante no numerador e para cada fator quadrático irreduzível usamos um numerador linear.

Passo 3

Elimino denominadores multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+4x+5). Obtenho a identidade polinomial
x^{2}+4x+1 = A\bigl(x^{2}+4x+5\bigr)+(Bx+C)(x+1).
Agora vou expandir e agrupar termos em potências de x.

Passo 4

Expansão do lado direito e agrupamento:
A\bigl(x^{2}+4x+5\bigr)=Ax^{2}+4Ax+5A,
(Bx+C)(x+1)=Bx^{2}+Bx+Cx+C.
Somando:
Ax^{2}+4Ax+5A+Bx^{2}+Bx+Cx+C=(A+B)x^{2}+(4A+B+C)x+(5A+C).
Como a igualdade é verdadeira para todo x, igualo coeficientes dos mesmos graus com o polinômio do lado esquerdo x^{2}+4x+1. Formo o sistema
\begin{cases} 1 = A+B,\\[4pt] 4 = 4A+B+C,\\[4pt] 1 = 5A+C. \end{cases}]

Passo 5

Vou resolver o sistema passo a passo. Da primeira equação obtenho
B=1-A.
Da terceira equação obtenho
C=1-5A.
Substituo B e C na segunda equação:
4 = 4A + (1-A) + (1-5A).
Calculo o lado direito:
4A + 1 - A + 1 - 5A = (4A - A - 5A) + 2 = -2A + 2.
Logo
4 = -2A + 2 \quad\Rightarrow\quad -2A = 2 \quad\Rightarrow\quad A = -1.
Com A=-1 tenho
B = 1 - A = 1 - (-1) = 2,
C = 1 - 5A = 1 - 5(-1) = 1 + 5 = 6.

Passo 6

Substituo A,B,C na forma inicial e escrevo a decomposição encontrada:
\frac{x^{2}+4x+1}{(x+1)(x^{2}+4x+5)}=\frac{-1}{x+1}+\frac{2x+6}{x^{2}+4x+5}.
Para aplicações em transformadas inversas (Fourier, Laplace, Z) é útil completar o quadrado no denominador quadrático e separar a parte do numerador que coincide com a derivada do quadrado completado. Faço isso: completo o quadrado em x^{2}+4x+5:
x^{2}+4x+5=(x+2)^{2}+1.
Escrevo o numerador 2x+6 de forma adaptada:
2x+6=2(x+3)=2(x+2)+2.
Portanto
\frac{2x+6}{x^{2}+4x+5}=\frac{2(x+2)}{(x+2)^{2}+1}+\frac{2}{(x+2)^{2}+1}.
Assim obtenho uma forma final muito conveniente para inversões (cada termo corresponde a formas padrão).

Passo 7

Reescrevendo tudo junto na forma pronta para transformadas:
\frac{x^{2}+4x+1}{(x+1)(x^{2}+4x+5)}=-\frac{1}{x+1}+\frac{2(x+2)}{(x+2)^{2}+1}+\frac{2}{(x+2)^{2}+1}.
Observação didática rápida (útil na prova): o termo -\dfrac{1}{x+1} está pronto para gerar um exponencial e^{-t} numa transformada inversa de Laplace (se x for s). O termo \dfrac{2(x+2)}{(x+2)^{2}+1} corresponde a uma parte tipo \dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+\omega^{2}} (relacionada ao cosseno) e \dfrac{2}{(x+2)^{2}+1} corresponde a \dfrac{\omega}{(s-a)^{2}+\omega^{2}} (relacionada ao seno), com \omega=1 e deslocamento a=-2. Isso facilita muito o cálculo das transformadas inversas.

Resposta

\frac{x^{2}+4x+1}{(x+1)(x^{2}+4x+5)}=\frac{-1}{x+1}+\frac{2x+6}{x^{2}+4x+5}
\frac{x^{2}+4x+1}{(x+1)(x^{2}+4x+5)}=-\frac{1}{x+1}+\frac{2(x+2)}{(x+2)^{2}+1}+\frac{2}{(x+2)^{2}+1}

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