Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções: F(x)=\frac{x^{2}+4 x+1}{(x+1)\left(x^{2}+4 x+5\right)}
Passo 1
O enunciado pede que eu faça a decomposição em frações parciais da função racional
O denominador é produto de um fator linear \,(x+1)\, e de um fator quadrático \,x^{2}+4x+5, que não se fatora em reias (veremos a forma irreduzível). A tarefa é escrever F(x) como soma de frações mais simples (frações parciais), úteis para cálculos de transformadas inversas.
Passo 2
Motivação e forma geral da decomposição: como o denominador tem um fator linear distinto e um fator quadrático irreduzível, a forma padrão da decomposição é
onde A,B,C são constantes a determinar. Essa forma é a escolha padrão porque para cada fator linear usamos uma constante no numerador e para cada fator quadrático irreduzível usamos um numerador linear.
Passo 3
Elimino denominadores multiplicando ambos os lados por (x+1)(x^{2}+4x+5). Obtenho a identidade polinomial
x^{2}+4x+1 = A\bigl(x^{2}+4x+5\bigr)+(Bx+C)(x+1).
Agora vou expandir e agrupar termos em potências de x.
Para aplicações em transformadas inversas (Fourier, Laplace, Z) é útil completar o quadrado no denominador quadrático e separar a parte do numerador que coincide com a derivada do quadrado completado. Faço isso: completo o quadrado em x^{2}+4x+5:
Observação didática rápida (útil na prova): o termo -\dfrac{1}{x+1} está pronto para gerar um exponencial e^{-t} numa transformada inversa de Laplace (se x for s). O termo \dfrac{2(x+2)}{(x+2)^{2}+1} corresponde a uma parte tipo \dfrac{s-a}{(s-a)^{2}+\omega^{2}} (relacionada ao cosseno) e \dfrac{2}{(x+2)^{2}+1} corresponde a \dfrac{\omega}{(s-a)^{2}+\omega^{2}} (relacionada ao seno), com \omega=1 e deslocamento a=-2. Isso facilita muito o cálculo das transformadas inversas.