Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções:
F(x)=\frac{x^{2}+3 x+4}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}

Passo 1

O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
F(x)=\frac{x^{2}+3x+4}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}.
Informações fornecidas e observações imediatas:
\text{numerador: }x^{2}+3x+4,
\text{denominador: }(x^{2}+1)(x^{2}+4).
O denominador já está fatorado em dois polinômios quadráticos irreduzíveis (sobre os reais): \left(x^{2}+1\right) e \left(x^{2}+4\right). A tarefa é escrever F(x) como soma de frações parciais cujos denominadores sejam esses quadráticos.

Passo 2

Por que escolher um numerador linear em cada fração parcial? Regra: para cada fator irreduzível quadrático \left(x^{2}+a\right) do denominador, o numerador associado deve ser um polinômio de grau menor que 2, isto é, de grau 1. Então assumimos a forma geral
F(x)=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+4},
onde A,B,C,D são constantes desconhecidas a determinar. Aqui A,B,C,D são números reais que vamos encontrar.

Passo 3

Eliminamos os denominadores multiplicando ambos os lados por \left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right). Obtemos a igualdade de polinômios
x^{2}+3x+4=(Ax+B)(x^{2}+4)+(Cx+D)(x^{2}+1).
Isso é válido para todo x, então os coeficientes dos polinômios à esquerda e à direita devem coincidir.

Passo 4

Vamos expandir cada termo do lado direito com cuidado:
Primeiro termo:
(Ax+B)(x^{2}+4)=Ax\cdot x^{2}+B\cdot x^{2}+Ax\cdot 4+B\cdot 4 = A x^{3}+B x^{2}+4A x+4B.
Segundo termo:
(Cx+D)(x^{2}+1)=C x^{3}+D x^{2}+C x+D.
Somando os dois:
(Ax+B)(x^{2}+4)+(Cx+D)(x^{2}+1)=(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(4A+C)x+(4B+D).

Passo 5

Agora igualamos coeficientes com o polinômio do lado esquerdo \;x^{2}+3x+4\;=\;0\cdot x^{3}+1\cdot x^{2}+3\cdot x+4. Isso gera o sistema linear
\begin{cases} A+C=0,\\[4pt] B+D=1,\\[4pt] 4A+C=3,\\[4pt] 4B+D=4. \end{cases}]

Passo 6

Resolvendo o sistema passo a passo.
Da primeira equação \;A+C=0\; segue \;C=-A\;.
Substituindo em \;4A+C=3\; obtemos
4A+(-A)=3 \quad\Rightarrow\quad 3A=3 \quad\Rightarrow\quad A=1.
Logo \;C=-A=-1.
Agora use as equações para B e D. Da segunda equação \;B+D=1\; temos \;D=1-B\;.
Substituindo em \;4B+D=4\; obtemos
4B+(1-B)=4 \quad\Rightarrow\quad 3B=3 \quad\Rightarrow\quad B=1.
Então \;D=1-B=0.
Verificação rápida: com A=1,B=1,C=-1,D=0 os coeficientes ficam
A+C=1-1=0,\quad B+D=1+0=1,\quad 4A+C=4-1=3,\quad 4B+D=4+0=4,
coincidindo com o sistema, logo está correto.

Passo 7

Substituindo os valores encontrados na forma geral, obtemos a decomposição
F(x)=\frac{1\cdot x+1}{x^{2}+1}+\frac{(-1)\cdot x+0}{x^{2}+4}=\frac{x+1}{x^{2}+1}-\frac{x}{x^{2}+4}.
Para usos em transformadas inversas (Fourier/Laplace) é comum separar as partes ímpares e pares em x, por exemplo:
\frac{x+1}{x^{2}+1}-\frac{x}{x^{2}+4}=\frac{x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{x}{x^{2}+4}.
Observação útil: \frac{x}{x^{2}+a^{2}} e \frac{a}{x^{2}+a^{2}} são formas padrão cujas transformadas inversas são conhecidas (p.ex. no caso de variável s na transformada de Laplace, s/(s^{2}+a^{2}) está ligado ao \cos(at) e a/(s^{2}+a^{2}) ao \sin(at)). Para ajustar fatores, note que \dfrac{x}{x^{2}+4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^{2}+4} e \dfrac{1}{x^{2}+4}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{x^{2}+4}, operações úteis ao relacionar com tabelas de transformadas.

Resposta

\frac{x+1}{x^{2}+1}-\frac{x}{x^{2}+4}

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