Aplicação no cálculo das transformadas inversas de Fourier, Laplace e Z. Forneça a decomposição em frações parciais das seguintes funções: F(x)=\frac{x^{2}+3 x+4}{\left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right)}
Passo 1
O enunciado pede a decomposição em frações parciais da função racional
O denominador já está fatorado em dois polinômios quadráticos irreduzíveis (sobre os reais): \left(x^{2}+1\right) e \left(x^{2}+4\right). A tarefa é escrever F(x) como soma de frações parciais cujos denominadores sejam esses quadráticos.
Passo 2
Por que escolher um numerador linear em cada fração parcial? Regra: para cada fator irreduzível quadrático \left(x^{2}+a\right) do denominador, o numerador associado deve ser um polinômio de grau menor que 2, isto é, de grau 1. Então assumimos a forma geral
F(x)=\frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+4},
onde A,B,C,D são constantes desconhecidas a determinar. Aqui A,B,C,D são números reais que vamos encontrar.
Passo 3
Eliminamos os denominadores multiplicando ambos os lados por \left(x^{2}+1\right)\left(x^{2}+4\right). Obtemos a igualdade de polinômios
x^{2}+3x+4=(Ax+B)(x^{2}+4)+(Cx+D)(x^{2}+1).
Isso é válido para todo x, então os coeficientes dos polinômios à esquerda e à direita devem coincidir.
Passo 4
Vamos expandir cada termo do lado direito com cuidado:
Primeiro termo:
(Ax+B)(x^{2}+4)=Ax\cdot x^{2}+B\cdot x^{2}+Ax\cdot 4+B\cdot 4 = A x^{3}+B x^{2}+4A x+4B.
Observação útil: \frac{x}{x^{2}+a^{2}} e \frac{a}{x^{2}+a^{2}} são formas padrão cujas transformadas inversas são conhecidas (p.ex. no caso de variável s na transformada de Laplace, s/(s^{2}+a^{2}) está ligado ao \cos(at) e a/(s^{2}+a^{2}) ao \sin(at)). Para ajustar fatores, note que \dfrac{x}{x^{2}+4}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2x}{x^{2}+4} e \dfrac{1}{x^{2}+4}=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{4}{x^{2}+4}, operações úteis ao relacionar com tabelas de transformadas.