Uma das aplicações das derivadas é a obtenção da equação de retas tangentes a determinadas curvas em um ponto. Obter a equação da reta tangente a cada uma das curvas abaixo no ponto P indicado:
Obs.: y-y_{p}=g^{\prime}\left(x_{p}\right) .\left(x-x_{p}\right) é a equação da reta tangente à curva y=g(x) no ponto ( x_{p}, y_{p} )
y=\ln \left(x^{2}+1\right), em x=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva y = \ln(x^2 + 1) no ponto P em x_p = 1. Vamos usar derivada para obter o coeficiente angular e a fórmula
y - y_p = g'(x_p)\,(x - x_p).

Passo 2

Calculamos o valor de y_p substituindo x_p em g(x):
y_p = g(1) = \ln\bigl(1^2 + 1\bigr) = \ln(2).

Passo 3

Derivamos g(x). Como g(x)=\ln(u) com u = x^2 + 1, temos
g'(x) = \frac{u'}{u} = \frac{2x}{x^2 + 1}.

Passo 4

Avaliamos a derivada no ponto x_p = 1:
g'(1) = \frac{2\cdot1}{1^2 + 1} = 1.

Passo 5

Substituímos x_p, y_p e g'(x_p) na fórmula da reta tangente:
y - \ln(2) = 1\,(x - 1).

Resposta

y - \ln(2) = x - 1 \quad\Longrightarrow\quad y = x - 1 + \ln(2).

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