Uma das aplicações das derivadas é a obtenção da equação de retas tangentes a determinadas curvas em um ponto. Obter a equação da reta tangente a cada uma das curvas abaixo no ponto P indicado:
Obs.: y-y_{p}=g^{\prime}\left(x_{p}\right) .\left(x-x_{p}\right) é a equação da reta tangente à curva y=g(x) no ponto ( x_{p}, y_{p} )
y=\operatorname{tg}\left(1-x^{2}\right), em x=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = \tan\bigl(1 - x^2\bigr)
no ponto em que x_p = 1.
O ponto é (x_p,y_p) com
y_p = g(1)
e a reta tangente satisfaz
y - y_p = g'(x_p)\,(x - x_p).
Para resolver, precisamos (1) calcular y_p, (2) achar a derivada g'(x) por regra da cadeia e avaliá-la em x=1, e (3) montar a equação da reta.

Passo 2

Calcular o valor da função em x_p=1:
y_p = g(1) = \tan\bigl(1 - 1^2\bigr) = \tan(0) = 0.

Passo 3

Derivar g(x)=\tan\bigl(1 - x^2\bigr) usando regra da cadeia:
g'(x) = \operatorname{sec}^2\bigl(1 - x^2\bigr)\,\cdot\bigl(1 - x^2\bigr)' = \operatorname{sec}^2\bigl(1 - x^2\bigr)\,(-2x).
Avalia em x=1:
g'(1) = \operatorname{sec}^2(1 - 1)\,(-2\cdot1) = \operatorname{sec}^2(0)\,(-2) = 1\cdot(-2) = -2.

Passo 4

Substituindo em
y - y_p = g'(x_p)\,(x - x_p)
recebemos
y - 0 = -2\,(x - 1),
que simplifica para
y = -2x + 2.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = -2x + 2.

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