É aplicada uma carga centrada P em uma coluna de alumínio. A extremidade A pode deslizar livremente no plano x z.
(a) Determinar a relação a / b entre os lados da seção transversal para que não ocorra flambagem;

Passo 1

O enunciado (do jeito que foi enviado) diz o seguinte:
  • Há uma coluna de alumínio submetida a uma carga axial centrada P.
  • A extremidade A pode deslizar livremente no plano x z.
  • Pede-se: (a) determinar a relação a/b entre os lados da seção transversal retangular para que não ocorra flambagem.
Informações explícitas dadas: a existência de P (carga axial), material (alumínio) e que a seção é retangular com lados a e b.
Informações que o enunciado NÃO deu (e que são necessárias para um resultado numérico claro):
  • comprimento da coluna L;
  • condições de contorno completas nas duas direções (qual o outro apoio? como é exatamente o apoio em A em termos de liberdade de rotação em cada plano);
  • fator de comprimento efetivo(s) K (que dependem das condições de contorno em cada direção);
  • módulo de elasticidade E do alumínio (ou se aceitamos o valor tabelado padrão);
  • se a carga P é dada numericamente (ou se queremos uma relação puramente geométrica independente de P).
Como falta essa informação, não é possível dar um valor numérico único para a/b. Vou, então, apresentar a resolução passo a passo ensinando o método completo e fornecendo a relação geral que deve ser satisfeita; com isso, substituindo os dados que faltam obtém‑se a razão numérica.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar: flambagem (Euler) para colunas esbeltas. A carga crítica de flambagem segundo Euler é
P_{\mathrm{cr}}=\frac{\pi^{2}E I}{(K L)^{2}},
onde:
  • P_{\mathrm{cr}} é a carga crítica (força) que provoca flambagem,
  • E é o módulo de elasticidade do material (para alumínio típico E\approx 69\cdot10^{9}\,\mathrm{Pa}, mas usaremos E simbólico),
  • I é o momento de inércia da seção transversal em relação ao eixo de flambagem considerado,
  • L é o comprimento da coluna,
  • K é o fator de comprimento efetivo (adimensional) que depende das condições de apoio (ex.: K=1 para apoiado‑apoiado, K=0{,}5 para engastado‑engastado, K=2 para engastado‑livre, K\approx0{,}7 para engastado‑apoiado, etc.).
Interpretação prática: a coluna vai flambar pela direção cujo P_{\mathrm{cr}} é menor. Para “não ocorrer flambagem” sob a carga P é necessário que P seja menor (ou igual) ao P_{\mathrm{cr}} em ambas as direções possíveis de flambagem.

Passo 3

Momentos de inércia da seção retangular (centro na origem): supondo que a é a largura no eixo x e b é a largura no eixo y, os momentos principais são
I_x=\frac{a b^{3}}{12}, \qquad I_y=\frac{b a^{3}}{12}.
Explicando: I_x é o momento de inércia para flexão em torno do eixo x (ou seja, quando a curva de flambagem está no plano que envolve a dimensão b), e I_y é para flexão em torno do eixo y.
É útil definir a razão adimensional
r=\frac{a}{b}.
Com isso podemos escrever ambos os momentos em função de b e r:
I_x=\frac{b^{4}}{12}\,r, \qquad I_y=\frac{b^{4}}{12}\,r^{3}.
Esse passo é importante: ele mostra como a variação de r afeta de modo diferente os momentos de inércia — um cresce como r, o outro como r^{3}.

Passo 4

Escrever as cargas críticas de flambagem nas duas direções (permitindo fatores de comprimento diferentes K_x e K_y, pois as condições de contorno podem dar comprimentos efetivos distintos para flambagem em planos ortogonais):
P_{\mathrm{cr},x}=\frac{\pi^{2}E I_x}{(K_x L)^{2}} =\frac{\pi^{2}E}{(K_x L)^{2}}\cdot\frac{b^{4}}{12}\,r,
P_{\mathrm{cr},y}=\frac{\pi^{2}E I_y}{(K_y L)^{2}} =\frac{\pi^{2}E}{(K_y L)^{2}}\cdot\frac{b^{4}}{12}\,r^{3}.
Para não ocorrer flambagem, a coluna deve satisfazer ambas as desigualdades
P \le P_{\mathrm{cr},x}, \qquad P \le P_{\mathrm{cr},y}.

Passo 5

Isolar r em cada desigualdade. Defina as constantes (com unidades de força)
C_x=\frac{\pi^{2}E b^{4}}{12 (K_x L)^{2}}, \qquad C_y=\frac{\pi^{2}E b^{4}}{12 (K_y L)^{2}}.
Então as cargas críticas ficam simples:
P_{\mathrm{cr},x}=C_x\,r, \qquad P_{\mathrm{cr},y}=C_y\,r^{3}.
As condições P\le P_{\mathrm{cr},x} e P\le P_{\mathrm{cr},y} resultam em
r \ge \frac{P}{C_x}, \qquad r \ge \left(\frac{P}{C_y}\right)^{1/3}.
Portanto, em termos de a/b,
\boxed{\frac{a}{b}=r \ge \max\!\left\{\,\dfrac{P}{C_x},\;\left(\dfrac{P}{C_y}\right)^{1/3}\right\}.}
Reescrevendo C_x e C_y explicitamente:
\frac{a}{b}\ge \max\!\left\{\,\dfrac{12(K_x L)^{2}P}{\pi^{2}E b^{4}},\; \left(\dfrac{12(K_y L)^{2}P}{\pi^{2}E b^{4}}\right)^{1/3}\right\}.
Explicação didática curta: a primeira condição vem de garantir que a flambagem em torno de x (modo cujo inércia é proporcional a r) não ocorra; a segunda garante que a flambagem em torno de y (modo com inércia proporcional a r^{3}) não ocorra. Como precisamos evitar ambas, tomamos o máximo.

Passo 6

Casos especiais úteis:
  • Se os fatores de comprimento efetivo forem iguais ( K_x=K_y=K\)), então \(C_x=C_y=C\) e a condição simplifica para \[\frac{a}{b}\ge \max\!\left\{\,\dfrac{P}{C},\;\left(\dfrac{P}{C}\right)^{1/3}\right\}.
Observe que para números X>0 vale \max\{X,X^{1/3}\}= \begin{cases} X,& X\ge1,\\\ X^{1/3},& X\le1. \end{cases}\] Assim o valor dominante depende se \(P/C é maior ou menor que 1 (isto é, se P é maior ou menor que C). Em palavras: quando P for pequeno comparado a C, a condição mais severa vem da desigualdade com r^{3} (orientação que cresce mais rápido), caso contrário vem da desigualdade linear em r.
  • Se se deseja uma seção “simétrica” para que ambas as direções tenham a mesma carga crítica (igual resistência à flambagem nas duas direções), impõe-se P_{\mathrm{cr},x}=P_{\mathrm{cr},y}. Com C_x=C_y isso dá r=r^{3} e, para r>0, resulta r=1, ou seja a=b: a seção quadrada dá P_{\mathrm{cr},x}=P_{\mathrm{cr},y}. Isso não garante que P seja menor que essa carga crítica — apenas iguala as resistências.

Passo 7

Resumo de aplicação prática (como usar na prova):
  1. Identifique L, as condições de apoio e determine K_x e K_y (pode ser o mesmo K se apoios se comportarem igualmente nos dois planos).
  2. Escolha b (ou a) ou trate b como parâmetro; calcule C_x e C_y.
  3. Calcule os dois limites para r:
r_{1}=\dfrac{P}{C_x}, \qquad r_{2}=\left(\dfrac{P}{C_y}\right)^{1/3}.
  1. Tome r\ge\max\{r_1,r_2\}. Isso dá a menor razão a/b para evitar flambagem em ambas direções.
  2. Se o enunciado pedir uma razão numérica, substitua E, L, K, b, P nos valores e calcule.
Dica de prova rápida: se não der números, apresente a desigualdade geral como mostrado; se der números, não esqueça de usar E do alumínio e o K correto conforme apoios.

Resposta

\frac{a}{b}\ge \max\!\left\{\,\dfrac{12(K_x L)^{2}P}{\pi^{2}E b^{4}},\; \left(\dfrac{12(K_y L)^{2}P}{\pi^{2}E b^{4}}\right)^{1/3}\right\}.

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