Questão 1 ( \mathbf{3 0 , 0} pontos) Um disco de hóquei sobre o gelo desliza sobre uma película de água horizontal, de tal forma que a aceleração do disco, relativamente a um referencial fixo à Terra, é diretamente proporcional à velocidade do disco:
a(v)=-0,50 v \quad\left[\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right], \quad v>0,
com v expresso em m/s. Se a velocidade do disco é 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s} quando x=0 : (a) determine a velocidade do disco em função de x; (b) calcule a velocidade do disco para x=20 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
  • Dados fornecidos:
    • A aceleração do disco, medida em um referencial fixo à Terra, é dada em função da velocidade por a(v)=-0,50\,v [\mathrm{m/s^{2}}], para v>0.
    • A velocidade inicial é v(0)=15\\ \mathrm{m/s} no ponto x=0.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a velocidade do disco em função da posição x, isto é, encontrar v(x).
    • (b) Calcular a velocidade do disco quando x=20\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Entendendo as relações entre aceleração, velocidade e posição (aula rápida e necessária).
  • Definição: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é \,a=\dfrac{dv}{dt}\,. Aqui v é a velocidade como função do tempo t.
  • Objetivo: queremos v em função de x, não de t. Para ligar dv/dt com derivada em relação a x usamos a regra da cadeia (chain rule). Se v depende de x e x depende de t, então \frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\cdot\frac{dx}{dt}.
  • Observação: \dfrac{dx}{dt} é exatamente a velocidade v. Logo a relação vira a = \frac{dv}{dt} = v\,\frac{dv}{dx}.Explicando com calma: pense em v como v(x(t)). A mudança de v no tempo vem da mudança de v quando a posição x muda, multiplicada por quão rápido x muda no tempo — que é v mesmo. Um exemplo simples: se v aumenta 2 \mathrm{m/s} a cada metro e eu me movo a 3 \mathrm{m/s}, então dv/dt=2\cdot3=6\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 3

Aplicando a relação a = v\,\dfrac{dv}{dx} ao problema.
  • Substitui-se a expressão dada para a aceleração: v\,\frac{dv}{dx} = -0,50\,v.
  • Como o enunciado diz v>0, podemos dividir ambos os lados por v sem problema. Isso simplifica para \frac{dv}{dx} = -0,50.Comentário: é importante notar por que podemos dividir por v — se v fosse zero em algum ponto teríamos que tratar separadamente; aqui a hipótese v>0 permite cancelar.

Passo 4

Integração para obter v(x).
  • A equação diferencial obtida é muito simples: \dfrac{dv}{dx}=-0,50. Reescrevendo diferencialmente, dv = -0,50\,dx.
  • Integramos dos valores iniciais até valores gerais. Integração de x=0 (onde v=15) até x (onde v=v(x)): \int_{15}^{v(x)} dv = \int_{0}^{x} -0,50\,dx.
  • Calculando as integrais: \bigl[v\bigr]_{15}^{v(x)} = -0,50\,[x]_{0}^{x}
v(x)-15 = -0,50\,x.
  • Isolando v(x): v(x)=15-0,50\,x.Observação física: essa é uma queda linear da velocidade com a posição. A expressão vale enquanto v>0; nota-se que para x=30\\ \mathrm{m} a velocidade chega a zero (parada).

Passo 5

Calcular a velocidade em x=20\\ \mathrm{m}.
  • Substitui x=20 na fórmula encontrada: v(20)=15-0,50\cdot20.
  • Fazendo as contas passo a passo: 0,50\cdot20=10. Então v(20)=15-10=5\\ \mathrm{m/s}.
  • Interpretação rápida e encorajamento: a velocidade caiu de 15\\ \mathrm{m/s} para 5\\ \mathrm{m/s} ao percorrer 20\\ \mathrm{m}. Você mandou bem pedindo a solução passo a passo — essa técnica (usar a=v\,dv/dx) é muito prática em problemas onde a aceleração é dada em função da velocidade.

Resposta

(a) v(x)=15-0,50\,x [\mathrm{m/s}]
(b) v(20)=5\\ \mathrm{m/s}

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