Questão 1 (
pontos) Um disco de hóquei sobre o gelo desliza sobre uma película de água horizontal, de tal forma que a aceleração do disco, relativamente a um referencial fixo à Terra, é diretamente proporcional à velocidade do disco:
com
expresso em m/s. Se a velocidade do disco é
quando
: (a) determine a velocidade do disco em função de
; (b) calcule a velocidade do disco para
.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar tudo claramente):
- Dados fornecidos:
- A aceleração do disco, medida em um referencial fixo à Terra, é dada em função da velocidade por
, para . - A velocidade inicial é
no ponto .
- A aceleração do disco, medida em um referencial fixo à Terra, é dada em função da velocidade por
- Perguntas:
- (a) Determinar a velocidade do disco em função da posição
, isto é, encontrar . - (b) Calcular a velocidade do disco quando
.
- (a) Determinar a velocidade do disco em função da posição
Passo 2
Entendendo as relações entre aceleração, velocidade e posição (aula rápida e necessária).
- Definição: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, isto é
. Aqui é a velocidade como função do tempo . - Objetivo: queremos
em função de , não de . Para ligar com derivada em relação a usamos a regra da cadeia (chain rule). Se depende de e depende de , então - Observação:
é exatamente a velocidade . Logo a relação vira Explicando com calma: pense em como . A mudança de no tempo vem da mudança de quando a posição muda, multiplicada por quão rápido muda no tempo — que é mesmo. Um exemplo simples: se aumenta 2 a cada metro e eu me movo a 3 , então .
Passo 3
Aplicando a relação
ao problema.
- Substitui-se a expressão dada para a aceleração:
- Como o enunciado diz
, podemos dividir ambos os lados por sem problema. Isso simplifica para Comentário: é importante notar por que podemos dividir por — se fosse zero em algum ponto teríamos que tratar separadamente; aqui a hipótese permite cancelar.
Passo 4
Integração para obter
.
- A equação diferencial obtida é muito simples:
. Reescrevendo diferencialmente, - Integramos dos valores iniciais até valores gerais. Integração de
(onde ) até (onde ): - Calculando as integrais:
- Isolando
: Observação física: essa é uma queda linear da velocidade com a posição. A expressão vale enquanto ; nota-se que para a velocidade chega a zero (parada).
Passo 5
Calcular a velocidade em
.
- Substitui
na fórmula encontrada: - Fazendo as contas passo a passo:
. Então - Interpretação rápida e encorajamento: a velocidade caiu de
para ao percorrer . Você mandou bem pedindo a solução passo a passo — essa técnica (usar ) é muito prática em problemas onde a aceleração é dada em função da velocidade.
Resposta
(a)
(b)
(b)