Diga quais das seguintes forças são conservativas:
F_{x}=2 a x\left(z^{3}+y^{3}\right) F_{y}=2 a y\left(z^{3}+y^{3}\right)+3 a y^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) F_{z}=3 a z^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para dizer quais das forças (ou melhor: se a força) dada pelos componentes abaixo é conservativa. Os dados fornecidos são os componentes da força (com a constante):
F_x=2a x\big(z^{3}+y^{3}\big)
F_y=2a y\big(z^{3}+y^{3}\big)+3a y^{2}\big(x^{2}+y^{2}\big)
F_z=3a z^{2}\big(x^{2}+y^{2}\big)
Pergunta implícita: a força vetorial \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) é conservativa? Se for, encontrar a função potencial (opcional para confirmar).

Passo 2

Regra prática (aula rapidinha): uma campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z) é conservativo em um domínio simplesmente conexo de \mathbb{R}^3 se, e somente se, seu rotacional (curl) for o vetor nulo em todo ponto do domínio. O rotacional é dado por
\nabla\times\mathbf{F}=\left( \frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z},\; \frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x},\; \frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y} \right).
Explicando: cada componente do rotacional é uma diferença de derivadas parciais cruzadas; se todas essas diferenças forem zero em \mathbb{R}^3 (domínio sem “buracos”), então existe uma função escalar \varphi(x,y,z) com \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias passo a passo.
Calcule \dfrac{\partial F_z}{\partial y}. Como F_z=3a z^{2}(x^{2}+y^{2}), derivando em relação a y:
\frac{\partial F_z}{\partial y}=3a z^{2}\cdot 2y=6a y z^{2}.
Calcule \dfrac{\partial F_y}{\partial z}. Como F_y=2a y(z^{3}+y^{3})+3a y^{2}(x^{2}+y^{2}), apenas o termo 2a y z^{3} depende de z. Logo:
\frac{\partial F_y}{\partial z}=2a y\cdot 3z^{2}=6a y z^{2}.
Portanto a primeira componente do rotacional é
(\nabla\times\mathbf{F})_x=\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}=6a y z^{2}-6a y z^{2}=0.
Agora calcule \dfrac{\partial F_x}{\partial z}. Como F_x=2a x(z^{3}+y^{3}), só o termo 2a x z^{3} depende de z, então
\frac{\partial F_x}{\partial z}=2a x\cdot 3z^{2}=6a x z^{2}.
Calcule \dfrac{\partial F_z}{\partial x}. Como F_z=3a z^{2}(x^{2}+y^{2}),
\frac{\partial F_z}{\partial x}=3a z^{2}\cdot 2x=6a x z^{2}.
Portanto a segunda componente do rotacional é
(\nabla\times\mathbf{F})_y=\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}=6a x z^{2}-6a x z^{2}=0.
Finalmente calcule \dfrac{\partial F_y}{\partial x}. Em F_y o único termo que depende de x é 3a y^{2}x^{2}, cuja derivada em x é
\frac{\partial F_y}{\partial x}=3a y^{2}\cdot 2x=6a x y^{2}.
Calcule \dfrac{\partial F_x}{\partial y}. Em F_x=2a x(z^{3}+y^{3}) a dependência em y vem de 2a x y^{3}, cuja derivada em y é
\frac{\partial F_x}{\partial y}=2a x\cdot 3y^{2}=6a x y^{2}.
Então a terceira componente do rotacional é
(\nabla\times\mathbf{F})_z=\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=6a x y^{2}-6a x y^{2}=0.
Como todas as três componentes são zero, temos
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}\quad\text{(em todo }\mathbb{R}^3\text{)}.

Passo 4

Interpretação e condição de domínio: os componentes são polinômios em x,y,z, então o campo está definido e é suave em todo \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo (sem “buracos”). Logo o fato de \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em todo \mathbb{R}^3 implica que \mathbf{F} é conservativa — existe uma função potencial \varphi(x,y,z) tal que \nabla\varphi=\mathbf{F}.

Passo 5

Construção explícita da função potencial (método prático que se usa na prova): integrar componente a componente.
Comece por integrar \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=F_x=2a x(z^{3}+y^{3}) em relação a x:
\varphi(x,y,z)=\int 2a x(z^{3}+y^{3})\,dx=a x^{2}(z^{3}+y^{3})+g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.
Agora imponha \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=F_y. Calcule \partial\varphi/\partial y a partir da expressão acima:
\frac{\partial \varphi}{\partial y}=a x^{2}\cdot 3y^{2}+\frac{\partial g}{\partial y}=3a x^{2}y^{2}+\frac{\partial g}{\partial y}.
Isto deve igualar F_y=2a y(z^{3}+y^{3})+3a y^{2}(x^{2}+y^{2}). Reorganizando:
\frac{\partial g}{\partial y}=2a y z^{3}+5a y^{4}.
Integre em y:
g(y,z)=\int\big(2a y z^{3}+5a y^{4}\big)\,dy=a z^{3}y^{2}+a y^{5}+h(z),
onde h(z) é outra constante de integração (agora só função de z).
Portanto
\varphi(x,y,z)=a x^{2}(z^{3}+y^{3})+a z^{3}y^{2}+a y^{5}+h(z).
Por fim imponha \dfrac{\partial \varphi}{\partial z}=F_z. Calcule:
\frac{\partial \varphi}{\partial z}=a x^{2}\cdot 3z^{2}+a y^{2}\cdot 3z^{2}+h'(z)=3a z^{2}(x^{2}+y^{2})+h'(z).
Isto deve ser igual a F_z=3a z^{2}(x^{2}+y^{2}), logo h'(z)=0 e h(z) é constante C.
Logo uma função potencial (até constante) é
\varphi(x,y,z)=a x^{2}(z^{3}+y^{3})+a z^{3}y^{2}+a y^{5}+C.
Verificação rápida: derivando \varphi nas três direções recuperam-se exatamente F_x,F_y,F_z.

Resposta

A força \mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z) é conservativa em \mathbb{R}^3.
Uma função potencial é \displaystyle \varphi(x,y,z)=a x^{2}\big(z^{3}+y^{3}\big)+a z^{3}y^{2}+a y^{5}+C (com C constante).

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