Diga quais das seguintes forças são conservativas:
Passo 1
O enunciado pede para dizer quais das forças (ou melhor: se a força) dada pelos componentes abaixo é conservativa. Os dados fornecidos são os componentes da força (com
constante):
Pergunta implícita: a força vetorial
é conservativa? Se for, encontrar a função potencial (opcional para confirmar).
Passo 2
Regra prática (aula rapidinha): uma campo vetorial
é conservativo em um domínio simplesmente conexo de
se, e somente se, seu rotacional (curl) for o vetor nulo em todo ponto do domínio. O rotacional é dado por
Explicando: cada componente do rotacional é uma diferença de derivadas parciais cruzadas; se todas essas diferenças forem zero em
(domínio sem “buracos”), então existe uma função escalar
com
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias passo a passo.
Calcule
. Como
, derivando em relação a
:
Calcule
. Como
, apenas o termo
depende de
. Logo:
Portanto a primeira componente do rotacional é
Agora calcule
. Como
, só o termo
depende de
, então
Calcule
. Como
,
Portanto a segunda componente do rotacional é
Finalmente calcule
. Em
o único termo que depende de
é
, cuja derivada em
é
Calcule
. Em
a dependência em
vem de
, cuja derivada em
é
Então a terceira componente do rotacional é
Como todas as três componentes são zero, temos
Passo 4
Interpretação e condição de domínio: os componentes são polinômios em
, então o campo está definido e é suave em todo
, que é simplesmente conexo (sem “buracos”). Logo o fato de
em todo
implica que
é conservativa — existe uma função potencial
tal que
.
Passo 5
Construção explícita da função potencial (método prático que se usa na prova): integrar componente a componente.
Comece por integrar
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Agora imponha
. Calcule
a partir da expressão acima:
Isto deve igualar
. Reorganizando:
Integre em
:
onde
é outra constante de integração (agora só função de
).
Portanto
Por fim imponha
. Calcule:
Isto deve ser igual a
, logo
e
é constante
.
Logo uma função potencial (até constante) é
Verificação rápida: derivando
nas três direções recuperam-se exatamente
.
Resposta
A força
é conservativa em
.
Uma função potencial é (com
constante).
Uma função potencial é