É aplicado a um circuito uma tensão v(t)=300 \cos \left(20 t+30^{\circ}\right) V, ele absorve uma corrente de i(t)=15 \cos \left(20 t-25^{\circ}\right). Calcule o valor do fator de potência, a potência média, a potência máxima e a potência mínima absorvida pelo circuito.

Passo 1

O enunciado dá uma tensão e uma corrente senoidais com a mesma frequência:
v(t)=300\cos\!\bigl(20t+30^\circ\bigr)\\ \text{V},
i(t)=15\cos\!\bigl(20t-25^\circ\bigr)\\ \text{A}.
Perguntas: calcular
  1. o fator de potência (PF),
  2. a potência média absorvida pelo circuito,
  3. a potência máxima instantânea absorvida,
  4. a potência mínima instantânea absorvida.
Informações relevantes extraídas do enunciado (só para organizar):
V_m=300,\quad I_m=15,
\phi_v=30^\circ,\quad \phi_i=-25^\circ.

Passo 2

Primeiro esclarecemos o que é a diferença de fase entre tensão e corrente. Definimos
\Delta\varphi=\phi_v-\phi_i.
Substituindo os valores dados:
\Delta\varphi=30^\circ-(-25^\circ)=55^\circ.
Interpretação física rápida: como \phi_i<\phi_v, a corrente está atrasada em relação à tensão por 55^\circ (ou seja, PF será do tipo “atraso”).

Passo 3

Definição e cálculo do fator de potência. O fator de potência é o cosseno da diferença de fase entre tensão e corrente:
\text{PF}=\cos(\Delta\varphi).
Aplicando \Delta\varphi=55^\circ:
\text{PF}=\cos(55^\circ)\approx 0,5736.
Como a corrente está atrasada, escrevemos \text{PF}\approx 0,5736 (atraso).

Passo 4

Fórmula da potência média (potência real) para sinais senoidais de mesma frequência. Existem duas formas equivalentes:
P=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos(\Delta\varphi)
ou, usando amplitudes de pico,
P=\frac{V_m I_m}{2}\cos(\Delta\varphi).
Explico as quantidades: V_m e I_m são amplitudes de pico (aqui 300 e 15), e V_{\text{rms}}=V_m/\sqrt{2}, I_{\text{rms}}=I_m/\sqrt{2}.
Calculamos primeiro a metade do produto de picos:
\frac{V_m I_m}{2}=\frac{300\cdot 15}{2}=2250.
Agora a potência média:
P=2250\cos(55^\circ)\approx 2250\cdot 0,573576\approx 1288,05\\ \text{W}.
(Verificação alternativa: V_{\text{rms}}=\tfrac{300}{\sqrt{2}}\approx 212,132\\ \text{V}, I_{\text{rms}}=\tfrac{15}{\sqrt{2}}\approx 10,606\\ \text{A}, e 212,132\cdot 10,606\cdot 0,5736\approx 1288,05\\ \text{W}.)

Passo 5

Para obter a potência instantânea usamos a identidade trigonométrica
\cos A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl[\cos(A-B)+\cos(A+B)\bigr].
Aplicando a p(t)=v(t)i(t) temos
p(t)=V_m I_m\cos(\omega t+\phi_v)\cos(\omega t+\phi_i) =\frac{V_m I_m}{2}\Bigl[\cos(\phi_v-\phi_i)+\cos\bigl(2\omega t+\phi_v+\phi_i\bigr)\Bigr].
Observe que o termo constante é exatamente a potência média
P=\frac{V_m I_m}{2}\cos(\Delta\varphi),
enquanto o termo oscilante tem amplitude
A=\frac{V_m I_m}{2}=2250\\ \text{W}.
Portanto a potência instantânea oscila entre
p_{\max}=P+A,\qquad p_{\min}=P-A.
Substituindo P\approx 1288,05\\ \text{W} e A=2250\\ \text{W}:
p_{\max}\approx 1288,05+2250=3538,05\\ \text{W},
p_{\min}\approx 1288,05-2250=-961,95\\ \text{W}.
Significado físico: o valor mínimo negativo indica instantes em que o circuito devolve energia à fonte.

Resposta

\text{PF}=\cos(55^\circ)\approx 0,5736 (atraso)
\text{Potência média }P\approx 1288,05\\ \text{W}êé
\text{Potência máxima }p_{\max}\approx 3538,05\\ \text{W}êá
\text{Potência mínima }p_{\min}\approx -961,95\\ \text{W}êí

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