5.7 ! Considerando que não há transformação de massa para energia ou vice-versa, é possível escrever uma equação da continuidade para a massa. (a) Se utilizarmos a equação da continuidade para carga como nosso modelo, quais quantidades correspondem a \mathbf{J} e \rho_{v} ? (b) Dado um cubo de 1 cm de lado, dados experimentais mostram que as taxas nas quais a massa deixa cada uma das seis faces são 10,25,-9,85,1,75,-2,00,-4,05 e 4,55 \mathrm{mg} / \mathrm{s}. Se considerarmos o cubo um elemento incremental de volume,
determine um valor aproximado para a taxa temporal de variação da densidade no seu centro.

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas claras:
  1. (a) Usando a equação da continuidade para carga como modelo, quais quantidades no caso da massa correspondem a \mathbf{J} e a \rho_{v}?
  2. (b) Para um cubo de lado 1\\ \mathrm{cm}, as taxas de massa que saem de cada face (em \mathrm{mg}/\mathrm{s}) são, na ordem fornecida: 10,25,\\\ -9,85,\\\ 1,75,\\\ -2,00,\\\ -4,05,\\\ 4,55. Considerando o cubo como um elemento de volume, determine um valor aproximado para a taxa temporal de variação da densidade de massa no seu centro.
Informações relevantes dadas:
  • Lado do cubo: 1\\ \mathrm{cm} (logo volume V=1\\ \mathrm{cm}^3).
  • Taxas de massa através das seis faces (soma de massas que saem; sinais negativos significam fluxo entrando): 10,25, -9,85, 1,75, -2,00, -4,05, 4,55 em \mathrm{mg}/\mathrm{s}.

Passo 2

Vamos revisar a equação da continuidade (modelo para carga) e interpretar cada termo, para então fazer o mapa para massa.
A equação da continuidade (para carga) está escrita assim:
\nabla\cdot \mathbf{J} + \frac{\partial \rho_{v}}{\partial t} = 0.
Explicando cada termo:
  • \mathbf{J} é o vetor densidade de corrente (fluxo) — quantidade de carga que atravessa por unidade de área por unidade de tempo; unidades típicas: carga/(área·tempo).
  • \rho_{v} é a densidade volumétrica de carga — carga por unidade de volume; unidades típicas: carga/volume.
  • \nabla\cdot \mathbf{J} (divergência de \mathbf{J}) mede a taxa líquida de fluxo saindo por unidade de volume no ponto considerado.
  • A equação diz: variação temporal local da densidade ( \partial \rho_{v}/\partial t) é igual a menos a divergência do fluxo — se sai mais carga do que entra, a densidade local diminui.
Para adaptar isso à massa, trocamos “carga” por “massa”. Assim:
  • \mathbf{J} correspondente para massa é o vetor densidade de fluxo de massa; vou chamá-lo de \mathbf{J}_m. Ele mede quantos miligramas passam por unidade de área por segundo através de uma superfície, unidades por exemplo \mathrm{mg}/(\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{s}).
  • \rho_{v} correspondente para massa é a densidade de massa no volume — vou chamá-la de \rho ou \rho_m, com unidades \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3.
A equação da continuidade para massa fica então:
\nabla\cdot \mathbf{J}_m + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0.
Interpretação prática: se a soma das massas que saem de um volume por unidade de tempo for positiva, a densidade dentro do volume tende a diminuir, e a taxa de diminuição é o negativo da divergência.

Passo 3

Como usar essa equação no cubo discreto (elemento de volume). Motivação e fórmula discretizada:
  • O teorema da divergência diz que a integral volumétrica da divergência é igual ao fluxo total pela superfície:
\int_V \nabla\cdot \mathbf{J}_m\\ dV = \oint_S \mathbf{J}_m\cdot d\mathbf{S}.
  • Para um cubo pequeno e assumindo \nabla\cdot \mathbf{J}_m aproximadamente constante no volume, temos:
\nabla\cdot \mathbf{J}_m \approx \frac{1}{V}\sum_{\text{faces}} \dot m_{\text{saída}},í
onde \dot m_{\text{saída}}í são as taxas (em \mathrm{mg}/\mathrm{s}) de massa que saem em cada face (valores positivos indicam saída; negativos indicam entrada).
  • Usando a equação da continuidade:
\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla\cdot \mathbf{J}_m \approx -\frac{1}{V}\sum_{\text{faces}} \dot m_{\text{saída}}.í
No nosso caso o volume é V=1\\ \mathrm{cm}^3, o que simplifica muito: a divergência aproximada é numericamente igual à soma das taxas por 1\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 4

Agora somamos as seis taxas fornecidas, com cuidado nos sinais. Vou somar passo a passo.
Dados (em \mathrm{mg}/\mathrm{s}): 10,25, -9,85, 1,75, -2,00, -4,05, 4,55.
Somando:
  • 10,25 + (-9,85) = 0,40.
  • 0,40 + 1,75 = 2,15.
  • 2,15 + (-2,00) = 0,15.
  • 0,15 + (-4,05) = -3,90.
  • -3,90 + 4,55 = 0,65.
Logo o fluxo líquido de massa que sai do cubo é \sum \dot m_{\text{saída}} = 0,65\\ \mathrm{mg}/\mathrm{s}í.

Passo 5

Calcule a divergência aproximada e a taxa temporal de variação da densidade no centro:
  • Divergência aproximada:
\nabla\cdot \mathbf{J}_m \approx \frac{1}{V}\sum_{\text{faces}} \dot m_{\text{saída}} = \frac{0,65\\ \mathrm{mg}/\mathrm{s}}{1\\ \mathrm{cm}^3} = 0,65\\ \mathrm{mg}/(\mathrm{cm}^3\cdot\mathrm{s}).í
  • Pela equação da continuidade para massa:
\frac{\partial \rho}{\partial t} = -\nabla\cdot \mathbf{J}_m \approx -0,65\\ \mathrm{mg}/(\mathrm{cm}^3\cdot\mathrm{s}).
Interpretação física: o valor é negativo, então a densidade de massa no centro do cubo está diminuindo à taxa de aproximadamente 0,65\\ \mathrm{mg} por \mathrm{cm}^3 a cada segundo. Em palavras: sai mais massa do cubo do que entra, então a densidade cai.

Passo 6

Resumo prático do método para usar numa prova:
  • Identifique se os números são fluxos totais (massa por tempo em cada face) ou densidades de fluxo (massa por área por tempo). Aqui são fluxos totais, então basta somar e dividir por volume.
  • Use a forma local da equação da continuidade \nabla\cdot \mathbf{J}_m + \partial \rho/\partial t = 0.
  • Aproximação prática para um pequeno elemento: \nabla\cdot \mathbf{J}_m \approx (\text{soma das taxas de saída})/Ví.
  • Lembre-se do sinal: saída positiva → densidade diminui ( \partial \rho/\partial t negativo).
Você conseguiu! Pode repetir esse procedimento com qualquer conjunto de fluxos através das faces — é sempre essa soma dividida pelo volume, seguida do sinal negativo para achar \partial \rho/\partial t.

Resposta

(a) \mathbf{J} corresponde ao vetor densidade de fluxo de massa \mathbf{J}_m (massa por unidade de área por tempo, por exemplo \mathrm{mg}/(\mathrm{cm}^2\cdot\mathrm{s})); \rho_{v} corresponde à densidade de massa \rho (massa por unidade de volume, por exemplo \mathrm{mg}/\mathrm{cm}^3).\n(b) \displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}\approx -0,65\\ \mathrm{mg}/(\mathrm{cm}^3\cdot\mathrm{s})

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