5.7 ! Considerando que não há transformação de massa para energia ou vice-versa, é possível escrever uma equação da continuidade para a massa. (a) Se utilizarmos a equação da continuidade para carga como nosso modelo, quais quantidades correspondem a
e
? (b) Dado um cubo de 1 cm de lado, dados experimentais mostram que as taxas nas quais a massa deixa cada uma das seis faces são
e
. Se considerarmos o cubo um elemento incremental de volume,
determine um valor aproximado para a taxa temporal de variação da densidade no seu centro.
determine um valor aproximado para a taxa temporal de variação da densidade no seu centro.
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras:
- (a) Usando a equação da continuidade para carga como modelo, quais quantidades no caso da massa correspondem a
e a ? - (b) Para um cubo de lado
, as taxas de massa que saem de cada face (em ) são, na ordem fornecida: . Considerando o cubo como um elemento de volume, determine um valor aproximado para a taxa temporal de variação da densidade de massa no seu centro.
Informações relevantes dadas:
- Lado do cubo:
(logo volume ). - Taxas de massa através das seis faces (soma de massas que saem; sinais negativos significam fluxo entrando):
, , , , , em .
Passo 2
Vamos revisar a equação da continuidade (modelo para carga) e interpretar cada termo, para então fazer o mapa para massa.
A equação da continuidade (para carga) está escrita assim:
Explicando cada termo:
-
é o vetor densidade de corrente (fluxo) — quantidade de carga que atravessa por unidade de área por unidade de tempo; unidades típicas: carga/(área·tempo). -
é a densidade volumétrica de carga — carga por unidade de volume; unidades típicas: carga/volume. -
(divergência de ) mede a taxa líquida de fluxo saindo por unidade de volume no ponto considerado. - A equação diz: variação temporal local da densidade (
) é igual a menos a divergência do fluxo — se sai mais carga do que entra, a densidade local diminui.
Para adaptar isso à massa, trocamos “carga” por “massa”. Assim:
-
correspondente para massa é o vetor densidade de fluxo de massa; vou chamá-lo de . Ele mede quantos miligramas passam por unidade de área por segundo através de uma superfície, unidades por exemplo . -
correspondente para massa é a densidade de massa no volume — vou chamá-la de ou , com unidades .
A equação da continuidade para massa fica então:
Interpretação prática: se a soma das massas que saem de um volume por unidade de tempo for positiva, a densidade dentro do volume tende a diminuir, e a taxa de diminuição é o negativo da divergência.
Passo 3
Como usar essa equação no cubo discreto (elemento de volume). Motivação e fórmula discretizada:
- O teorema da divergência diz que a integral volumétrica da divergência é igual ao fluxo total pela superfície:
- Para um cubo pequeno e assumindo
aproximadamente constante no volume, temos:
onde
são as taxas (em
) de massa que saem em cada face (valores positivos indicam saída; negativos indicam entrada).
- Usando a equação da continuidade:
No nosso caso o volume é
, o que simplifica muito: a divergência aproximada é numericamente igual à soma das taxas por
.
Passo 4
Agora somamos as seis taxas fornecidas, com cuidado nos sinais. Vou somar passo a passo.
Dados (em
):
,
,
,
,
,
.
Somando:
-
. -
. -
. -
. -
.
Logo o fluxo líquido de massa que sai do cubo é
.
Passo 5
Calcule a divergência aproximada e a taxa temporal de variação da densidade no centro:
- Divergência aproximada:
- Pela equação da continuidade para massa:
Interpretação física: o valor é negativo, então a densidade de massa no centro do cubo está diminuindo à taxa de aproximadamente
por
a cada segundo. Em palavras: sai mais massa do cubo do que entra, então a densidade cai.
Passo 6
Resumo prático do método para usar numa prova:
- Identifique se os números são fluxos totais (massa por tempo em cada face) ou densidades de fluxo (massa por área por tempo). Aqui são fluxos totais, então basta somar e dividir por volume.
- Use a forma local da equação da continuidade
. - Aproximação prática para um pequeno elemento:
. - Lembre-se do sinal: saída positiva → densidade diminui (
negativo).
Você conseguiu! Pode repetir esse procedimento com qualquer conjunto de fluxos através das faces — é sempre essa soma dividida pelo volume, seguida do sinal negativo para achar
.
Resposta
(a)
corresponde ao vetor densidade de fluxo de massa
(massa por unidade de área por tempo, por exemplo
);
corresponde à densidade de massa
(massa por unidade de volume, por exemplo
).\n(b)