Aplicando o desenvolvimento de Laplace, calcule o determinante
A=\left|\begin{array}{llll}1 & 2 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 1\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 0 \\[6pt] 2 & 3 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 3 & 1 \\[6pt] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
usando o desenvolvimento de Laplace. Vamos precisar conhecer definição de menor complementar, cofator e aplicar expansão em uma linha ou coluna com zeros para simplificar.]

Passo 2

Escolhemos a primeira linha, que tem dois zeros, e aplicamos a fórmula
\det(A)\;=\;\sum_{j=1}^{4}(-1)^{1+j}\,a_{1j}\,\det\bigl(M_{1j}\bigr).
Como a_{13}=a_{14}=0, só restam j=1,2:
\det(A) =1\cdot(-1)^{1+1}\det\bigl(M_{11}\bigr) +2\cdot(-1)^{1+2}\det\bigl(M_{12}\bigr) =1\cdot\det\bigl(M_{11}\bigr)-2\cdot\det\bigl(M_{12}\bigr).

Passo 3

O menor M_{11} é a matriz 3\times3 obtida ao riscar linha 1 e coluna 1:
M_{11} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Perceba que é blocada em 1\times1 e 2\times2, logo
\det\bigl(M_{11}\bigr) =3\;\times\;\det\!\begin{pmatrix}3 & 1 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix} =3\bigl(3\cdot1-1\cdot1\bigr) =3\cdot2 =6.]

Passo 4

O menor M_{12} vem de riscar linha 1 e coluna 2:
M_{12} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\[4pt] 0 & 3 & 1 \\[4pt] 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Também é blocada, então
\det\bigl(M_{12}\bigr) =2\;\times\;\det\!\begin{pmatrix}3 & 1 \\[3pt] 1 & 1\end{pmatrix} =2\cdot2 =4.]

Passo 5

Substituindo em
\det(A)=1\cdot6-2\cdot4 =6-8 =-2.

Resposta

-2

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