Ache o valor do determinante:
\left|\begin{array}{rrrr} -1 & 6 & 3 & 4 \\ -2 & 3 & 6 & 3 \\ 3 & 4 & -1 & -5 \\ -1 & 3 & -4 & 2 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante de uma matriz 4\times4. O conteúdo aqui é determinante e operações elementares de linha para simplificar o cálculo (troca de linhas, combinação de linhas e multiplicação de linha). Vamos usar esses recursos para chegar a uma forma triangular e depois expandir.

Passo 2

Primeiro, para ter um pivô mais simples, trocamos a linha 1 com a linha 3. Se chamarmos a matriz original de A, obtemos a nova matriz B com
B = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 & -5\\\\ -2 & 3 & 6 & 3\\\\ -1 & 6 & 3 & 4\\\\ -1 & 3 & -4 & 2 \end{pmatrix}.
Essa troca de duas linhas inverte o sinal do determinante, ou seja,
\det(B) = -\det(A).

Passo 3

Agora usamos combinações de linhas para zerar os termos abaixo do pivô b_{11}=3. Fazemos
R_2 \to R_2 + \tfrac{2}{3}R_1,\quad R_3 \to R_3 + \tfrac{1}{3}R_1,\quad R_4 \to R_4 + \tfrac{1}{3}R_1.
Como somar múltiplos de uma linha em outra não altera o determinante, ele continua \det(B). O resultado é
B_1 = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 & -5\\\\ 0 & \tfrac{17}{3} & \tfrac{16}{3} & -\tfrac{1}{3}\\\\ 0 & \tfrac{22}{3} & \tfrac{8}{3} & \tfrac{7}{3}\\\\ 0 & \tfrac{13}{3} & -\tfrac{13}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.

Passo 4

Para evitar frações, multiplicamos as linhas 2, 3 e 4 por 3. Isso multiplica o determinante por 3^3=27. Chamando a nova matriz de B_2, temos
B_2 = \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 & -5\\\\ 0 & 17 & 16 & -1\\\\ 0 & 22 & 8 & 7\\\\ 0 & 13 & -13 & 1 \end{pmatrix},
e
\det(B_2) = 27\,\det(B).
Como B_2 é triangular em bloco na primeira coluna, expandimos pelo primeiro elemento:
\det(B_2) = 3 \cdot \det\begin{pmatrix} 17 & 16 & -1\\\\ 22 & 8 & 7\\\\ 13 & -13 & 1 \end{pmatrix}.
Calculando esse 3\times3 por cofactores (ou Sarrus), obtemos
\det\begin{pmatrix} 17 & 16 & -1\\\\ 22 & 8 & 7\\\\ 13 & -13 & 1 \end{pmatrix} =3177,
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\det(B_2)=3\cdot3177=9531.

Passo 5

Voltando aos fatores:
  • \det(B_2)=27\,\det(B) \det(B)=9531/27=353.
  • E como \det(B)=-\det(A), concluímos \det(A)=-353.

Resposta

-353

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