Aplicando as Leis de Kirchhoff, calcule I1, I2 e I3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para aplicar as Leis de Kirchhoff e calcular as correntes $ \mathrm{I}{1} $, $ \mathrm{I}{2} $ e $ \mathrm{I}_{3} $ em um circuito. As Leis de Kirchhoff envolvem a Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) e a Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK). Vamos precisar identificar os nós e malhas do circuito para aplicar essas leis e montar um sistema de equações que nos permita encontrar os valores das correntes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são as Leis de Kirchhoff:
  1. Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK): Em qualquer nó do circuito, a soma das correntes que entram é igual à soma das correntes que saem. Ou seja, não há acúmulo de carga elétrica no nó.
    sum Ientrando = sum Isaindo
  2. Lei das Tensões de Kirchhoff (LTK): Em qualquer malha fechada do circuito, a soma algébrica das diferenças de potencial (tensões) é igual a zero. Isso inclui as quedas de tensão nas resistências e as fontes de tensão.
    sum De

Passo 3

Vamos identificar os nós e as malhas do circuito. Supondo que temos um circuito com três correntes $ \mathrm{I}{1} $, $ \mathrm{I}{2} $ e $ \mathrm{I}_{3} $, podemos imaginar que elas se encontram em um nó comum. Aplicando a LCK nesse nó, teremos:
I1
Isso significa que a corrente $ \mathrm{I}{1} $ que chega ao nó se divide em $ \mathrm{I}{2} $ e $ \mathrm{I}_{3} $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar a LTK nas malhas do circuito. Suponha que temos duas malhas: uma envolvendo $ \mathrm{I}{1} $ e $ \mathrm{I}{2} $, e outra envolvendo $ \mathrm{I}{1} $ e $ \mathrm{I}{3} $. Para cada malha, somamos as tensões e igualamos a zero.
Por exemplo, na primeira malha:
I1
E na segunda malha:
I2
Aqui, $ R_{1} $, $ R_{2} $, $ R_{3} $ e $ R_{4} $ são as resistências presentes no circuito.

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações:
  1. $ \mathrm{I}{1} = \mathrm{I}{2} + \mathrm{I}_{3} $
  2. $ \mathrm{I}{1} \cdot R{1} - \mathrm{I}{2} \cdot R{2} = 0 $
  3. $ \mathrm{I}{1} \cdot R{3} - \mathrm{I}{3} \cdot R{4} = 0 $
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ \mathrm{I}{1} $, $ \mathrm{I}{2} $ e $ \mathrm{I}_{3} $.

Passo 6

Primeiro, da primeira equação, podemos expressar $ \mathrm{I}{1} $ em função de $ \mathrm{I}{2} $ e $ \mathrm{I}_{3} $:
I1
Agora, substituímos $ \mathrm{I}_{1} $ nas outras duas equações:
  1. $ (\mathrm{I}{2} + \mathrm{I}{3}) \cdot R_{1} - \mathrm{I}{2} \cdot R{2} = 0 $
  2. $ (\mathrm{I}{2} + \mathrm{I}{3}) \cdot R_{3} - \mathrm{I}{3} \cdot R{4} = 0 $

Passo 7

Vamos simplificar as equações:
  1. $ \mathrm{I}{2} \cdot R{1} + \mathrm{I}{3} \cdot R{1} - \mathrm{I}{2} \cdot R{2} = 0 $
    I2 cdot R1 + I3 cdot R1 - I2 cdot R2 = 0
  2. $ \mathrm{I}{2} \cdot R{3} + \mathrm{I}{3} \cdot R{3} - \mathrm{I}{3} \cdot R{4} = 0 $
    I2 (R1 - R2) + I3 R1 = 0

Passo 8

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ \mathrm{I}{2} $ e $ \mathrm{I}{3} $):
I2
Podemos resolver esse sistema usando métodos como substituição ou eliminação. Vamos usar a substituição.

Passo 9

Da segunda equação:
I2 R3 = -I3 (R3 - R4)
Isolando $ \mathrm{I}_{2} $:
I2
Agora, substituímos $ \mathrm{I}_{2} $ na primeira equação:
I2 = -R3 - R4R3 cdot I3

Passo 10

Vamos simplificar a equação:
-(R3 - R4)(R1 - R2)R3 cdot I3 + R1 cdot I3 = 0
Fatorando $ \mathrm{I}_{3} $:
I3
Para que essa equação seja verdadeira, o que está dentro dos parênteses deve ser igual a zero:
I3 ( -(R3 - R4)(R1 - R2)R3 + R1 ) = 0

Passo 11

Resolvendo para $ \mathrm{I}_{3} $:
I3
Agora, substituímos $ \mathrm{I}{3} = 0 $ na equação para $ \mathrm{I}{2} $:
I3 = 0
E, finalmente, substituindo $ \mathrm{I}{2} = 0 $ e $ \mathrm{I}{3} = 0 $ na primeira equação:
I3 = 0

Resposta

As correntes no circuito são $ \mathrm{I}{1} = 0 , A $, $ \mathrm{I}{2} = 0 , A $ e $ \mathrm{I}_{3} = 0 , A $.

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