Exprimir em coordenadas cilíndricas as grandezas:
a)
;
b)
;
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expressar três operações vetoriais—o gradiente de
, a divergência de
e o rotacional de
—em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo vetorial em um sistema de coordenadas onde as posições são definidas por $ (r, \theta, z) $. Vamos precisar saber como essas operações são definidas nesse sistema para conseguir fazer as transformações.
Passo 2
Vamos começar com a parte a)
, que é o gradiente de uma função escalar
.
O gradiente de uma função escalar nos dá a taxa de variação máxima dessa função em cada ponto e aponta na direção dessa variação.
Em coordenadas cilíndricas, o gradiente de
é dado por:
Explicação dos termos:
-
: Taxa de variação de na direção radial. -
: Taxa de variação na direção angular ajustada pelo fator . -
: Taxa de variação na direção axial.
Passo 3
Agora, vamos para a parte b)
, que é a divergência de um campo vetorial
.
A divergência mede o quanto um campo vetorial está “saindo” ou “entrando” de um ponto.
Em coordenadas cilíndricas, a divergência de
é dada por:
Explicação dos termos:
-
: Contribuição da variação radial. -
: Contribuição da variação angular, ajustada pelo fator . -
: Contribuição da variação axial.
Passo 4
Por fim, vamos resolver a parte c)
, que é o rotacional de um campo vetorial
.
O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto.
Em coordenadas cilíndricas, o rotacional de
é dado por:
Explicação dos termos:
- Componente radial (
): Relaciona a variação de em com a variação de em . - Componente angular (
): Relaciona a variação de em com a variação de em . - Componente axial (
): Relaciona a variação de em com a variação de em , ajustada pelo fator .
Resposta
As grandezas expressas em coordenadas cilíndricas são:
a)
b)
c)