Exprimir em coordenadas cilíndricas as grandezas:
a) nabla Phi;
b) nabla cdot A;
c) nabla times A

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa expressar três operações vetoriais—o gradiente de Phi, a divergência de A e o rotacional de A—em coordenadas cilíndricas. Para isso, vamos usar os conceitos de cálculo vetorial em um sistema de coordenadas onde as posições são definidas por $ (r, \theta, z) $. Vamos precisar saber como essas operações são definidas nesse sistema para conseguir fazer as transformações.

Passo 2

Vamos começar com a parte a) nabla Phi, que é o gradiente de uma função escalar Phi.
O gradiente de uma função escalar nos dá a taxa de variação máxima dessa função em cada ponto e aponta na direção dessa variação.
Em coordenadas cilíndricas, o gradiente de Phi é dado por:
nabla Phi = partial Phipartial r, er + 1r partial Phipartial theta, etheta + partial Phipartial z, ez
Explicação dos termos:
  • partial Phipartial r: Taxa de variação de Phi na direção radial.
  • 1r partial Phipartial theta: Taxa de variação na direção angular ajustada pelo fator 1/r.
  • partial Phipartial z: Taxa de variação na direção axial.

Passo 3

Agora, vamos para a parte b) nabla cdot A, que é a divergência de um campo vetorial A.
A divergência mede o quanto um campo vetorial está “saindo” ou “entrando” de um ponto.
Em coordenadas cilíndricas, a divergência de A = Ar, er + Atheta, etheta + Az, ez é dada por:
nabla cdot A = 1r partial (r Ar)partial r + 1r partial Athetapartial theta + partial Azpartial z
Explicação dos termos:
  • 1r partial (r Ar)partial r: Contribuição da variação radial.
  • 1r partial Athetapartial theta: Contribuição da variação angular, ajustada pelo fator 1/r.
  • partial Azpartial z: Contribuição da variação axial.

Passo 4

Por fim, vamos resolver a parte c) nabla times A, que é o rotacional de um campo vetorial A.
O rotacional mede a tendência do campo vetorial de “girar” em torno de um ponto.
Em coordenadas cilíndricas, o rotacional de A = Ar, er + Atheta, etheta + Az, ez é dado por:
nabla times A = ( 1r ( partial (Az)partial theta - partial (Atheta)partial z ) ) er + ( partial (Ar)partial z - partial (Az)partial r ) etheta + 1r ( partial (r Atheta)partial r - partial (Ar)partial theta ) ez
Explicação dos termos:
  • Componente radial ( er): Relaciona a variação de Az em theta com a variação de Atheta em z.
  • Componente angular ( etheta): Relaciona a variação de Ar em z com a variação de Az em r.
  • Componente axial ( ez): Relaciona a variação de Atheta em r com a variação de Ar em theta, ajustada pelo fator 1/r.

Resposta

As grandezas expressas em coordenadas cilíndricas são:
a)
nabla Phi = partial Phipartial r, er + 1r partial Phipartial theta, etheta + partial Phipartial z, ez
b)
nabla cdot A = 1r partial (r Ar)partial r + 1r partial Athetapartial theta + partial Azpartial z
c)
nabla times A &= ( 1r ( partial Azpartial theta - partial Athetapartial z ) ) er & + ( partial Arpartial z - partial Azpartial r ) etheta & + 1r ( partial (r Atheta)partial r - partial Arpartial theta ) ez

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