Determine o a transformada de Laplace de (1+20). Indique quais propriedades das transformadas de Laplace foram utilizadas.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinar a transformada de Laplace de 1 + 20 e indicar quais propriedades das transformadas de Laplace foram usadas. Basicamente, estamos lidando com a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a linearidade da transformada de Laplace e as transformadas de funções constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que queremos transformar. Aqui, temos f(t) = 1 + 20. Observando bem, isso parece ser uma soma de constantes. Porém, para a transformada de Laplace ser aplicada de forma mais significativa, vamos considerar que a função é f(t) = 1 + 20t, onde t é a variável de tempo.

Passo 3

Agora, vamos usar a linearidade da transformada de Laplace, que nos permite separar a transformada de uma soma em soma das transformadas individuais. Ou seja:
Lf(t) = L1 + L20t
Essa propriedade facilita bastante, pois transforma a questão de transformar uma soma em transformar termos individuais.

Passo 4

Vamos transformar cada termo separadamente.
Primeiro, a transformada de Laplace de uma constante a é:
La = as
Aplicando isso para 1:
L1 = 1s

Passo 5

Agora, transformamos o segundo termo 20t. Sabemos que a transformada de Laplace de t^n é:
Lt^n = n!s^n+1
No nosso caso, n = 1, então:
Lt = 1!s^2 = 1s^2
Multiplicando pela constante 20:
L20t = 20 times 1s^2 = 20s^2

Passo 6

Agora, juntamos as duas transformadas que calculamos usando a propriedade da linearidade:
L1 + 20t = 1s + 20s^2

Resposta

A transformada de Laplace de 1 + 20t é:
L1 + 20t = 1s + 20s^2
Foram utilizadas as propriedades da linearidade da transformada de Laplace e as transformadas de funções constantes e polinomiais.

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