Determine o a transformada de Laplace de
. Indique quais propriedades das transformadas de Laplace foram utilizadas.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para determinar a transformada de Laplace de
e indicar quais propriedades das transformadas de Laplace foram usadas. Basicamente, estamos lidando com a Transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada para transformar funções do domínio do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a linearidade da transformada de Laplace e as transformadas de funções constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função que queremos transformar. Aqui, temos
. Observando bem, isso parece ser uma soma de constantes. Porém, para a transformada de Laplace ser aplicada de forma mais significativa, vamos considerar que a função é
, onde
é a variável de tempo.
Passo 3
Agora, vamos usar a linearidade da transformada de Laplace, que nos permite separar a transformada de uma soma em soma das transformadas individuais. Ou seja:
Essa propriedade facilita bastante, pois transforma a questão de transformar uma soma em transformar termos individuais.
Passo 4
Vamos transformar cada termo separadamente.
Primeiro, a transformada de Laplace de uma constante
é:
Aplicando isso para
:
Passo 5
Agora, transformamos o segundo termo
. Sabemos que a transformada de Laplace de
é:
No nosso caso,
, então:
Multiplicando pela constante 20:
Passo 6
Agora, juntamos as duas transformadas que calculamos usando a propriedade da linearidade:
Resposta
A transformada de Laplace de
é:
Foram utilizadas as propriedades da linearidade da transformada de Laplace e as transformadas de funções constantes e polinomiais.