Aplicando o limite exponencial fundamental, calcule:
a) lim x +infty(1+1x)^6 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve uma expressão exponencial. A gente vai usar o limite exponencial fundamental, que nos ajuda a calcular limites onde a base está próxima de 1 e o expoente cresce para o infinito. Para isso, precisamos entender a função exponencial e como manipular expressões com limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que temos: . Conforme vai para mais infinito, vai tendendo a zero, então a base da potência está se aproximando de 1. O expoente, , está aumentando sem limite.

Passo 3

O limite exponencial fundamental que vamos usar é:
limn to infty (1 + an)^n = e^a
Onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,71828. No nosso caso, queremos adaptar essa fórmula para a nossa expressão.

Passo 4

Vamos reescrever a nossa expressão para se parecer com a fórmula fundamental. Observamos que:
(1 + 1x)^6x = [(1 + 1x)^x]^6
Isso porque . Agora, a expressão dentro do colchete está no formato do limite fundamental.

Passo 5

Aplicando o limite exponencial fundamental à parte dentro dos colchetes:
limx to infty (1 + 1x)^x = e
Então, a expressão toda fica:
(e)^6 = e^6

Resposta

O limite é .

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