Aplicando as regras dos produtos notáveis, desenvolva:
\left(\frac{x}{3}-\frac{y}{4}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver usando produtos notáveis a expressão \left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{y}{4}\right)^{2}.
Informações dadas:
  • A expressão é o quadrado de uma diferença entre duas parcelas: \dfrac{x}{3} e \dfrac{y}{4}.
  • Não há valores numéricos específicos para x e y; a saída deve ser uma expressão algébrica desenvolvida.

Passo 2

Recordando o produto notável que vamos usar: para quaisquer termos a e b vale
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.
Explicando essa fórmula de forma simples: o quadrado da diferença é a soma do quadrado do primeiro termo, mais o quadrado do segundo termo, e menos duas vezes o produto dos dois termos. Aqui:
  • a representa o primeiro termo da diferença,
  • b representa o segundo termo.

Passo 3

Identificamos a e b na expressão dada:
a=\dfrac{x}{3},\qquad b=\dfrac{y}{4}.

Passo 4

Calculamos a^{2}, ou seja o quadrado de \dfrac{x}{3}. Ao elevar uma fração ao quadrado, elevamos numerador e denominador ao quadrado:
a^{2}=\left(\dfrac{x}{3}\right)^{2}=\dfrac{x^{2}}{3^{2}}=\dfrac{x^{2}}{9}.
Explicação prática: \dfrac{x}{3}\cdot\dfrac{x}{3}=\dfrac{x\cdot x}{3\cdot 3}=\dfrac{x^{2}}{9}.

Passo 5

Calculamos b^{2}, o quadrado de \dfrac{y}{4}:
b^{2}=\left(\dfrac{y}{4}\right)^{2}=\dfrac{y^{2}}{4^{2}}=\dfrac{y^{2}}{16}.
Mesma ideia: \dfrac{y}{4}\cdot\dfrac{y}{4}=\dfrac{y^{2}}{16}.

Passo 6

Calculamos o termo misto -2ab:
-2ab=-2\cdot\left(\dfrac{x}{3}\right)\cdot\left(\dfrac{y}{4}\right).
Multiplicando as frações:
-2ab=-2\cdot\dfrac{xy}{12}=\dfrac{-2xy}{12}.
Agora simplificamos a fração \dfrac{-2}{12} dividindo numerador e denominador por 2:
\frac{-2}{12}=-\frac{1}{6}.
Portanto
-2ab=-\dfrac{xy}{6}.

Passo 7

Agora reunimos os três termos segundo a fórmula (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}:
\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{y}{4}\right)^{2}=\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{xy}{6}+\dfrac{y^{2}}{16}.
Esse é o desenvolvimento pedido, com cada termo calculado e simplificado.

Resposta

\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{xy}{6}+\dfrac{y^{2}}{16}

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