Aplicando as regras dos produtos notáveis, desenvolva:
\left(\frac{x}{3}+5 y\right) \cdot\left(\frac{x}{3}-5 y\right)

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver o produto usando produtos notáveis. A expressão dada é:
\left(\frac{x}{3}+5 y\right)\cdot\left(\frac{x}{3}-5 y\right).
Informações relevantes: x e y são variáveis (podem ser números reais). O objetivo é expandir e simplificar o produto.

Passo 2

Um produto notável muito útil aqui é a diferença de quadrados. A identidade é, para quaisquer números (ou expressões) a e b:
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
Explicando por que isso vale: multiplicando termo a termo (método FOIL),
(a+b)(a-b)=a\cdot a - a\cdot b + b\cdot a - b\cdot b = a^{2} - ab + ab - b^{2}=a^{2}-b^{2},
porque os termos -ab e +ab se anulam.

Passo 3

Vamos aplicar essa identidade identificando
a=\frac{x}{3}\qquad\text{e}\qquad b=5y.
Ou seja, a expressão é exatamente da forma (a+b)(a-b), portanto já sabemos que o produto será a^{2}-b^{2}.

Passo 4

Calcule a^{2}. Como a=\frac{x}{3}, ao elevar ao quadrado fazemos o quadrado do numerador e do denominador:
a^{2}=\left(\frac{x}{3}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{9}.
Dica prática: \left(\dfrac{p}{q}\right)^{2}=\dfrac{p^{2}}{q^{2}}.

Passo 5

Calcule b^{2}. Como b=5y, ao elevar ao quadrado aplicamos (\alpha\beta)^{2}=\alpha^{2}\beta^{2}:
b^{2}=(5y)^{2}=5^{2}\,y^{2}=25\,y^{2}.

Passo 6

Substituindo em a^{2}-b^{2} temos a forma expandida:
\frac{x^{2}}{9}-25\,y^{2}.
Essa já é uma forma correta e simples do resultado.

Passo 7

Se quiser juntar em uma única fração com denominador comum 9, multiplicamos 25y^{2} por \dfrac{9}{9}:
\frac{x^{2}}{9}-25y^{2}=\frac{x^{2}}{9}-\frac{225y^{2}}{9}=\frac{x^{2}-225y^{2}}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}-225y^{2}}{9}

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