Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
f(x)=2 x^{1 / 2}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Função fornecida: f(x)=2 x^{1/2}.
  • Pedido: calcular a derivada de f, ou seja, f'(x).
  • Observação sobre domínio da função original: como há x^{1/2}=\sqrt{x}, a função f está definida para x\ge 0.

Passo 2

Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de um jeito bem amigo):
  • Regra do fator constante: se g(x) é diferenciável e c é uma constante, então
\frac{d}{dx}\big(c\cdot g(x)\big)=c\cdot g'(x).
Aqui c significa um número que multiplica a função; a regra diz que dá para “puxar” esse número para fora da derivada.
  • Regra da potência (power rule): para um expoente racional (e, em particular, para n=\tfrac{1}{2}),
\frac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
Nessa fórmula, n é o expoente; por exemplo se n=\tfrac{1}{2}, então \dfrac{d}{dx}(x^{1/2})=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}.
Explicando em palavras: a derivada de x^n é o expoente vezes x elevado ao expoente diminuído de uma unidade.

Passo 3

Aplicando as regras à nossa função passo a passo:
  • Primeiro, uso a regra do fator constante com c=2 e g(x)=x^{1/2}. Logo
f'(x)=2\cdot\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big).
  • Agora aplico a regra da potência ao termo x^{1/2}. Com n=\tfrac{1}{2} temos
\frac{d}{dx}\big(x^{1/2}\big)=\tfrac{1}{2}\,x^{\tfrac{1}{2}-1}=\tfrac{1}{2}\,x^{-1/2}.
  • Substituindo na expressão anterior:
f'(x)=2\cdot\left(\tfrac{1}{2}\,x^{-1/2}\right).

Passo 4

Verificação alternativa (para você entender por que \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}) usando a definição do limite:
  • Considere h\to 0 e calcule
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}.
  • Multiplico numerador e denominador pelo conjugado para simplificar:
\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} =\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} =\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.
  • Fazendo h\to 0 obtemos
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big)=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2},
o que confirma a aplicação da regra da potência. Multiplicando por 2 (o fator constante) recuperamos a expressão obtida no passo anterior, antes de simplificar.

Passo 5

Simplificação e observações sobre domínio:
  • Algebricamente, 2\cdot\big(\tfrac{1}{2}x^{-1/2}\big)=1\cdot x^{-1/2}=x^{-1/2}.
  • Interpretando x^{-1/2} de forma mais familiar, x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}.
  • Importante sobre domínio da derivada: a função original está definida em x\ge 0, mas a derivada x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}} só faz sentido (ou seja, é finita) para x>0. Em x=0 a derivada não existe (tende para infinito à direita).

Resposta

f'(x)=x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}} para x>0.

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