Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Função fornecida:
. - Pedido: calcular a derivada de
, ou seja, . - Observação sobre domínio da função original: como há
, a função está definida para .
Passo 2
Relembrando as regras que vamos usar (explicadas de um jeito bem amigo):
- Regra do fator constante: se
é diferenciável e é uma constante, então
Aqui
significa um número que multiplica a função; a regra diz que dá para “puxar” esse número para fora da derivada.
- Regra da potência (power rule): para um expoente racional (e, em particular, para
),
Nessa fórmula,
é o expoente; por exemplo se
, então
.
Explicando em palavras: a derivada de é o expoente vezes
elevado ao expoente diminuído de uma unidade.
Explicando em palavras: a derivada de
Passo 3
Aplicando as regras à nossa função passo a passo:
- Primeiro, uso a regra do fator constante com
e . Logo
- Agora aplico a regra da potência ao termo
. Com temos
- Substituindo na expressão anterior:
Passo 4
Verificação alternativa (para você entender por que
) usando a definição do limite:
- Considere
e calcule
- Multiplico numerador e denominador pelo conjugado para simplificar:
- Fazendo
obtemos
o que confirma a aplicação da regra da potência. Multiplicando por
(o fator constante) recuperamos a expressão obtida no passo anterior, antes de simplificar.
Passo 5
Simplificação e observações sobre domínio:
- Algebricamente,
. - Interpretando
de forma mais familiar, . - Importante sobre domínio da derivada: a função original está definida em
, mas a derivada só faz sentido (ou seja, é finita) para . Em a derivada não existe (tende para infinito à direita).