Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função
Informações dadas e observações iniciais:
- A função é uma razão de dois polinômios: numerador
e denominador . - O domínio natural da função exclui os pontos onde o denominador é zero, ou seja
.
O objetivo é calcular, a derivada de em pontos do domínio.
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra do poder: a derivada de
é . Por exemplo, a derivada de é . - Derivada de soma e da constante:
e para constante . - Regra do quociente (a principal aqui): se
com , então
Nesta fórmula,
e
são as derivadas do numerador e do denominador, respectivamente. A ideia é: derivo o numerador, multiplico pelo denominador; menos o numerador vezes a derivada do denominador; tudo dividido pelo quadrado do denominador.
Passo 3
Identifico as funções
e
:
Agora calculo
e
usando a regra do poder e a linearidade:
- Para
: derivando termo a termo,
- Para
:
Passo 4
Aplico a regra do quociente substituindo
:
Esta expressão já é correta, agora vamos simplificar o numerador passo a passo para obter uma forma mais limpa.
Passo 5
Expando e simplifico o numerador:
Primeiro expando :
Primeiro expando
Depois calculo
:
Agora faço a subtração indicada no numerador:
Cancelando
e agrupando termos:
Portanto o numerador simplificado é
.
Passo 6
Escrevo a derivada já simplificada:
Comentário rápido de colega: podia-se também dividir os polinômios ou usar decomposição em frações parciais antes de derivar; escolhi a regra do quociente por ser direta e poupar passos de álgebra extra.