Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
f(x)=\frac{x^{2}-3 x+1}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função
f(x)=\frac{x^{2}-3x+1}{x^{2}-1}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função é uma razão de dois polinômios: numerador x^{2}-3x+1 e denominador x^{2}-1.
  • O domínio natural da função exclui os pontos onde o denominador é zero, ou seja x\neq\pm 1.
    O objetivo é calcular f'(x), a derivada de f em pontos do domínio.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra do poder: a derivada de x^{n} é n x^{n-1}. Por exemplo, a derivada de x^{2} é 2x.
  • Derivada de soma e da constante: \dfrac{d}{dx}(u+v)=u'+v' e \dfrac{d}{dx}\text{(c)}=0 para constante c.
  • Regra do quociente (a principal aqui): se f(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq 0, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{v(x)^{2}}.
Nesta fórmula, u'(x) e v'(x) são as derivadas do numerador e do denominador, respectivamente. A ideia é: derivo o numerador, multiplico pelo denominador; menos o numerador vezes a derivada do denominador; tudo dividido pelo quadrado do denominador.

Passo 3

Identifico as funções u e v:
u(x)=x^{2}-3x+1,\qquad v(x)=x^{2}-1.
Agora calculo u'(x) e v'(x) usando a regra do poder e a linearidade:
  • Para u(x): derivando termo a termo,
u'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)-\frac{d}{dx}\big(3x\big)+\frac{d}{dx}\big(1\big)=2x-3+0=2x-3.
  • Para v(x):
v'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^{2}\big)-\frac{d}{dx}\big(1\big)=2x-0=2x.

Passo 4

Aplico a regra do quociente substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{(2x-3)(x^{2}-1)-(x^{2}-3x+1)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}.
Esta expressão já é correta, agora vamos simplificar o numerador passo a passo para obter uma forma mais limpa.

Passo 5

Expando e simplifico o numerador:
Primeiro expando (2x-3)(x^{2}-1):
(2x-3)(x^{2}-1)=2x\cdot x^{2}-2x\cdot 1-3\cdot x^{2}+3=2x^{3}-3x^{2}-2x+3.
Depois calculo 2x(x^{2}-3x+1):
2x(x^{2}-3x+1)=2x^{3}-6x^{2}+2x.
Agora faço a subtração indicada no numerador:
(2x^{3}-3x^{2}-2x+3)-(2x^{3}-6x^{2}+2x).
Cancelando 2x^{3} e agrupando termos:
2x^{3}-3x^{2}-2x+3-2x^{3}+6x^{2}-2x=( -3x^{2}+6x^{2})+(-2x-2x)+3=3x^{2}-4x+3.
Portanto o numerador simplificado é 3x^{2}-4x+3.

Passo 6

Escrevo a derivada já simplificada:
f'(x)=\frac{3x^{2}-4x+3}{(x^{2}-1)^{2}},\qquad x\neq\pm 1.
Comentário rápido de colega: podia-se também dividir os polinômios ou usar decomposição em frações parciais antes de derivar; escolhi a regra do quociente por ser direta e poupar passos de álgebra extra.

Resposta

f'(x)=\dfrac{3x^{2}-4x+3}{(x^{2}-1)^{2}}

Exercícios relacionados