Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Pede-se
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Transformar a raiz em potência para facilitar as regras de derivação. Lembrando que
. Assim:
Agora usamos a regra de potências para multiplicar potências de mesma base:
. Aplicando:
Portanto podemos reescrever
Passo 3
Relembrando a regra que vamos usar (a “fórmula”):
- Regra da constante: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Em símbolos, se
então . - Regra da potência: para qualquer número real
, . Aqui é a variável e é o expoente.
No nosso caso
. Aplicando primeiro a regra da constante (a constante é
) e em seguida a regra da potência:
Passo 4
Calcular o expoente e simplificar os fatores:
então
Agora simplificar o
com
:
logo
Passo 5
Converter a resposta para a forma com raiz, se preferir uma expressão sem expoentes fracionários. Lembrando que
. Portanto:
Passo 6
Observação sobre domínio e diferenciabilidade: a expressão original usa
, portanto a função está definida (no sentido real) para
. A derivada encontrada
também é válida para
. Em
pode-se verificar diretamente pelo limite do quociente incremental:
logo
é diferenciável em
e
. Portanto a fórmula estendida vale para
.