Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
f(x)=2 x^{2} \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=2 x^{2} \sqrt{x}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=2 x^{2} \sqrt{x}.
  • Pede-se f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Transformar a raiz em potência para facilitar as regras de derivação. Lembrando que \sqrt{x}=x^{1/2}. Assim:
f(x)=2 x^{2} \sqrt{x}=2 x^{2} x^{1/2}.
Agora usamos a regra de potências para multiplicar potências de mesma base: x^{a}x^{b}=x^{a+b}. Aplicando:
x^{2}x^{1/2}=x^{2+\tfrac{1}{2}}=x^{\tfrac{5}{2}}.
Portanto podemos reescrever
f(x)=2 x^{\tfrac{5}{2}}.

Passo 3

Relembrando a regra que vamos usar (a “fórmula”):
  • Regra da constante: a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função. Em símbolos, se g(x)=c\cdot h(x) então g'(x)=c\cdot h'(x).
  • Regra da potência: para qualquer número real n, \dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n x^{n-1}. Aqui x é a variável e n é o expoente.
No nosso caso f(x)=2\cdot x^{5/2}. Aplicando primeiro a regra da constante (a constante é 2) e em seguida a regra da potência:
f'(x)=2\cdot \dfrac{d}{dx}\big(x^{\tfrac{5}{2}}\big)=2\cdot\left(\tfrac{5}{2}x^{\tfrac{5}{2}-1}\right).

Passo 4

Calcular o expoente e simplificar os fatores:
\tfrac{5}{2}-1=\tfrac{5}{2}-\tfrac{2}{2}=\tfrac{3}{2},
então
f'(x)=2\cdot\left(\tfrac{5}{2}x^{\tfrac{3}{2}}\right).
Agora simplificar o 2 com \tfrac{5}{2}:
2\cdot\tfrac{5}{2}=5,
logo
f'(x)=5x^{\tfrac{3}{2}}.

Passo 5

Converter a resposta para a forma com raiz, se preferir uma expressão sem expoentes fracionários. Lembrando que x^{\tfrac{3}{2}}=x^{1+\tfrac{1}{2}}=x\cdot x^{\tfrac{1}{2}}=x\sqrt{x}. Portanto:
f'(x)=5x^{\tfrac{3}{2}}=5x\sqrt{x}.

Passo 6

Observação sobre domínio e diferenciabilidade: a expressão original usa \sqrt{x}, portanto a função está definida (no sentido real) para x\ge 0. A derivada encontrada f'(x)=5x^{3/2}=5x\sqrt{x} também é válida para x>0. Em x=0 pode-se verificar diretamente pelo limite do quociente incremental:
\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2h^{5/2}-0}{h}=2\lim_{h\to0}h^{3/2}=0,
logo f é diferenciável em x=0 e f'(0)=0. Portanto a fórmula estendida vale para x\ge 0.

Resposta

f'(x)=5x^{\tfrac{3}{2}}=5x\sqrt{x}

Exercícios relacionados