Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular as derivadas das duas funções fornecidas. As funções dadas são:
-
-
(vou chamar essa segunda função de para ficar claro)
O objetivo é encontrar
e
, isto é, as funções que dão a taxa de variação (a inclinação da reta tangente) em cada ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar as regras de derivação que vamos usar (explicadas de maneira simples, passo a passo).
-
Definição intuitiva: a derivada de uma função em
é a taxa de variação instantânea da função em relação a . Notação comum: ou . -
Regra da soma/diferença (linearidade): a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas:
Isto permite derivar termo a termo.
- Regra da constante: a derivada de uma constante
é zero:
- Regra do fator constante: um fator constante pode sair da derivada:
- Regra da potência (a mais usada aqui): para
real,
Explicação curta: multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em 1. Isso vale para inteiros positivos e para muitos outros
.
Com essas regras conseguimos derivar polinômios facilmente, aplicando termo a termo.
Passo 3
Aplicando as regras ao primeiro termo mais geral que aparece em ambas as funções: se tivermos
, pela regra da potência
Se tivermos
, então
Anote mentalmente: potência 2 vira multiplicador 2 e expoente 1; potência 3 vira multiplicador 3 e expoente 2.
Passo 4
Agora aplicamos a linearidade e o fator constante ao primeiro caso
.
- Derivada de
: usamos o fator constante e a derivada de :
- Derivada de
: é uma constante, logo
Somando as partes (regra da soma/diferença):
Passo 5
Explicando de um jeito prático para a prova: ao ver
, pense “derivo
que vira
, depois multiplico por
e a constante some”. Resultado rápido:
.
Exemplo numérico rápido (para entender o que a derivada representa): em
,
ou seja, naquele ponto a função cresce com inclinação
.
Passo 6
Agora aplicamos as mesmas ideias à segunda função
.
- Derivada de
pela regra da potência:
- Derivada de
(constante) é zero:
Somando:
Passo 7
Dicas rápidas para prova (úteis e fáceis de lembrar):
- Derive termo a termo.
- Constantes desaparecem (viram zero).
- Para
, a derivada é . - Treine olhando polinômios:
, , .
Força — esses passos resolvem essas questões direto na prova. Se quiser, posso gerar mais exemplos para praticar em 2 minutos.