Aplicando as regras e as propriedades da derivação, derive as seguintes funções:
f(x)=3 x^{2}-1 \quad x^{3}+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas das duas funções fornecidas. As funções dadas são:
  • f(x)=3x^{2}-1
  • x^{3}+3 (vou chamar essa segunda função de g(x)=x^{3}+3 para ficar claro)
O objetivo é encontrar f'(x) e g'(x), isto é, as funções que dão a taxa de variação (a inclinação da reta tangente) em cada ponto x.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar as regras de derivação que vamos usar (explicadas de maneira simples, passo a passo).
  • Definição intuitiva: a derivada de uma função em x é a taxa de variação instantânea da função em relação a x. Notação comum: f'(x) ou \dfrac{d}{dx}f(x).
  • Regra da soma/diferença (linearidade): a derivada da soma (ou diferença) é a soma (ou diferença) das derivadas:
\frac{d}{dx}\bigl(h_1(x)\pm h_2(x)\bigr)=\frac{d}{dx}h_1(x)\pm\frac{d}{dx}h_2(x).
Isto permite derivar termo a termo.
  • Regra da constante: a derivada de uma constante c é zero:
\frac{d}{dx}c=0.
  • Regra do fator constante: um fator constante pode sair da derivada:
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot h(x)\bigr)=c\cdot\frac{d}{dx}h(x).
  • Regra da potência (a mais usada aqui): para n real,
\frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
Explicação curta: multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em 1. Isso vale para inteiros positivos e para muitos outros n.
Com essas regras conseguimos derivar polinômios facilmente, aplicando termo a termo.

Passo 3

Aplicando as regras ao primeiro termo mais geral que aparece em ambas as funções: se tivermos h(x)=x^{2}, pela regra da potência
\frac{d}{dx}x^{2}=2x^{1}=2x.
Se tivermos h(x)=x^{3}, então
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
Anote mentalmente: potência 2 vira multiplicador 2 e expoente 1; potência 3 vira multiplicador 3 e expoente 2.

Passo 4

Agora aplicamos a linearidade e o fator constante ao primeiro caso f(x)=3x^{2}-1.
  • Derivada de 3x^{2}: usamos o fator constante 3 e a derivada de x^{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}\bigr)=3\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=3\cdot(2x)=6x.
  • Derivada de -1: é uma constante, logo
\frac{d}{dx}(-1)=0.
Somando as partes (regra da soma/diferença):
f'(x)=6x+0=6x.

Passo 5

Explicando de um jeito prático para a prova: ao ver 3x^{2}-1, pense “derivo x^{2} que vira 2x, depois multiplico por 3 e a constante some”. Resultado rápido: 6x.
Exemplo numérico rápido (para entender o que a derivada representa): em x=2,
f'(2)=6\cdot 2=12,
ou seja, naquele ponto a função cresce com inclinação 12.

Passo 6

Agora aplicamos as mesmas ideias à segunda função g(x)=x^{3}+3.
  • Derivada de x^{3} pela regra da potência:
\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}.
  • Derivada de 3 (constante) é zero:
\frac{d}{dx}3=0.
Somando:
g'(x)=3x^{2}+0=3x^{2}.

Passo 7

Dicas rápidas para prova (úteis e fáceis de lembrar):
  • Derive termo a termo.
  • Constantes desaparecem (viram zero).
  • Para a x^{n}, a derivada é a n x^{n-1}.
  • Treine olhando polinômios: 5x^{4}\to 20x^{3}, -7x\to -7, 8\to0.
Força — esses passos resolvem essas questões direto na prova. Se quiser, posso gerar mais exemplos para praticar em 2 minutos.

Resposta

f'(x)=6x
(x^{3}+3)'=3x^{2}

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