Aplicando o Teorema do Valor Médio para a função f(x)=x^{1 / 5} no intervalo [32, 33], mostre que
2<\sqrt[5]{33}<2,0125

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teorema do Valor Médio na função
f(x) = x^{1/5}
no intervalo [32,33] e, a partir daí, obter uma estimativa para \sqrt[5]{33}=f(33). Sabemos que f é contínua em [32,33] e derivável em (32,33).

Passo 2

Pelo Teorema do Valor Médio, existe c\in(32,33) tal que
f(33)-f(32)=f'\text{(c)}\,(33-32).
Como f'(x)=\tfrac{1}{5}x^{-4/5}, temos
f(33)-f(32)=\frac{1}{5}\,c^{-4/5}\cdot 1.

Passo 3

Observamos que f é crescente, logo
f(33)>f(32)=\sqrt[5]{32}=2,
o que já garante a parte inferior da desigualdade.

Passo 4

Como c\in(32,33), segue c>32. Então
f'\text{(c)}=\frac{1}{5\,c^{4/5}}<\frac{1}{5\cdot 32^{4/5}} =\frac{1}{5\cdot(2^5)^{4/5}} =\frac{1}{5\cdot2^4} =\frac{1}{80}.
Dessa forma,
f(33)-2<\frac{1}{80}=0,0125 \quad\Longrightarrow\quad f(33)<2+0,0125=2,0125.

Resposta

2<\sqrt[5]{33}<2,0125.

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