Para aplicar a análise dimensional em problemas de convecção de massa é necessário considerar a geometria do problema, as condições do escoamento e as propriedades físicas do fluido escoando. Aplique a análise dimensional e encontre as variáveis adimensionais necessárias para o coeficiente de transferência de massa para uma corrente gasosa escoando sobre uma placa plana.
Passo 1
O que o enunciado pede: aplicar análise dimensional para encontrar as variáveis adimensionais necessárias para o coeficiente de transferência de massa para uma corrente gasosa escoando sobre uma placa plana.
Informações relevantes (escolhi as grandezas que habitualmente influenciam o coeficiente de transferência de massa em escoamento forçado sobre placa plana):
- Coeficiente de transferência de massa:
(unidade: comprimento por tempo). - Comprimento característico da placa:
(comprimento ao longo da placa). - Velocidade característica da corrente de gás longe da placa:
. - Difusividade molecular do soluto no gás:
(ou ). - Densidade do gás:
. - Viscosidade dinâmica do gás:
.
O enunciado não forneceu números nem pediu correlações empíricas, apenas os grupos adimensionais essenciais para o problema.
Passo 2
Vou anotar as dimensões de cada variável usando as bases
(massa),
(comprimento) e
(tempo):
-
: dimensão . -
: dimensão . -
: dimensão . -
: dimensão . -
: dimensão . -
: dimensão .
Contagem para Teorema de Buckingham: número de variáveis
. Número de dimensões primárias
(
). Logo devemos obter
grupos adimensionais independentes.
Passo 3
Escolha das variáveis repetidas (devem cobrir todas as dimensões e ser independentes): escolho
,
e
. Justificativa curta e prática: contêm
e
(
e
) e
(
); são típicas em problemas de escoamento sobre placa.
Com as variáveis repetidas fixas, vou formar três grupos
envolvendo as restantes
,
e
.
Passo 4
Formação do primeiro grupo
usando
:
Impondo neutralidade dimensional:
- expoente de
: , - expoente de
: , - expoente de
: .
Portanto
Passo 5
Formação do segundo grupo
usando
:
Dimensionalmente:
-
: , -
: , -
: .
Logo
Passo 6
Formação do terceiro grupo
usando
:
Dimensionalmente:
-
: , -
: , -
: .
Portanto
Passo 7
Interpretação e combinação dos
encontrados para obter os grupos clássicos de transferência de massa:
Temos
Combinações úteis:
- Relação entre
e :
onde
é o número de Sherwood, definido por
.
- Inverso de
:
onde
é o número de Reynolds.
- A partir de
e pode-se montar o número de Schmidt:
Também se verifica que o número de Peclet é
e
.
Passo 8
Conclusão física da análise dimensional (como usar na prova):
- Os três grupos adimensionais essenciais que contêm toda a dependência dimensional do coeficiente de transferência de massa são
- A forma geral dada pela análise dimensional é
ou equivalentemente se outras influências físicas relevantes existirem (por exemplo, efeito de compressibilidade, gradientes de temperatura que alterem , rugosidade da placa, gravidade levando a convecção natural — aí entrariam números adimensionais extras como número de Grashof etc.).
Dica prática para prova: reconheça estas definições e derive-as rapidamente com um pequeno Buckingham como fiz (escolhendo
como repetidas). Em muitos casos de escoamento forçado sobre placa lisa e propriedades constantes do gás, as correlações empíricas dão diretamente
em função de
e
(por ex. regimes laminar/turbulento com potências típicas).