Para aplicar a análise dimensional em problemas de convecção de massa é necessário considerar a geometria do problema, as condições do escoamento e as propriedades físicas do fluido escoando. Aplique a análise dimensional e encontre as variáveis adimensionais necessárias para o coeficiente de transferência de massa para uma corrente gasosa escoando sobre uma placa plana.

Passo 1

O que o enunciado pede: aplicar análise dimensional para encontrar as variáveis adimensionais necessárias para o coeficiente de transferência de massa para uma corrente gasosa escoando sobre uma placa plana.
Informações relevantes (escolhi as grandezas que habitualmente influenciam o coeficiente de transferência de massa em escoamento forçado sobre placa plana):
  • Coeficiente de transferência de massa: k (unidade: comprimento por tempo).
  • Comprimento característico da placa: L (comprimento ao longo da placa).
  • Velocidade característica da corrente de gás longe da placa: U.
  • Difusividade molecular do soluto no gás: D (ou D_{AB}).
  • Densidade do gás: \rho.
  • Viscosidade dinâmica do gás: \mu.
O enunciado não forneceu números nem pediu correlações empíricas, apenas os grupos adimensionais essenciais para o problema.

Passo 2

Vou anotar as dimensões de cada variável usando as bases \mathrm{M} (massa), \mathrm{L} (comprimento) e \mathrm{T} (tempo):
  • k: dimensão \mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}.
  • L: dimensão \mathrm{L}.
  • U: dimensão \mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}.
  • D: dimensão \mathrm{L}^{2}\,\mathrm{T}^{-1}.
  • \rho: dimensão \mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-3}.
  • \mu: dimensão \mathrm{M}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{T}^{-1}.
Contagem para Teorema de Buckingham: número de variáveis n=6. Número de dimensões primárias r=3 ( \mathrm{M},\mathrm{L},\mathrm{T}). Logo devemos obter n-r=3 grupos adimensionais independentes.

Passo 3

Escolha das variáveis repetidas (devem cobrir todas as dimensões e ser independentes): escolho U, L e \rho. Justificativa curta e prática: contêm \mathrm{L} e \mathrm{T} ( U e L) e \mathrm{M} ( \rho); são típicas em problemas de escoamento sobre placa.
Com as variáveis repetidas fixas, vou formar três grupos \Pi envolvendo as restantes k, D e \mu.

Passo 4

Formação do primeiro grupo \Pi_1 usando k:
\Pi_1 = k \, L^{a} \, U^{b} \, \rho^{c}.
Impondo neutralidade dimensional:
  • expoente de \mathrm{M}: c=0,
  • expoente de \mathrm{T}: -1-b=0 \Rightarrow b=-1,
  • expoente de \mathrm{L}: 1+a+b-3c=0 \Rightarrow 1+a-1=0 \Rightarrow a=0.
Portanto
\Pi_1 = \dfrac{k}{U}.

Passo 5

Formação do segundo grupo \Pi_2 usando D:
\Pi_2 = D \, L^{a} \, U^{b} \, \rho^{c}.
Dimensionalmente:
  • \mathrm{M}: c=0,
  • \mathrm{T}: -1-b=0 \Rightarrow b=-1,
  • \mathrm{L}: 2+a+b-3c=0 \Rightarrow 2+a-1=0 \Rightarrow a=-1.
Logo
\Pi_2 = \dfrac{D}{U L}.

Passo 6

Formação do terceiro grupo \Pi_3 usando \mu:
\Pi_3 = \mu \, L^{a} \, U^{b} \, \rho^{c}.
Dimensionalmente:
  • \mathrm{M}: 1+c=0 \Rightarrow c=-1,
  • \mathrm{T}: -1-b=0 \Rightarrow b=-1,
  • \mathrm{L}: -1+a+b-3c=0 \Rightarrow -1+a-1-3(-1)=0 \Rightarrow a=-1.
Portanto
\Pi_3 = \dfrac{\mu}{\rho U L}.

Passo 7

Interpretação e combinação dos \Pi encontrados para obter os grupos clássicos de transferência de massa:
Temos
\Pi_1=\dfrac{k}{U},\qquad \Pi_2=\dfrac{D}{U L},\qquad \Pi_3=\dfrac{\mu}{\rho U L}.
Combinações úteis:
  • Relação entre \Pi_1 e \Pi_2:
\dfrac{\Pi_1}{\Pi_2}=\dfrac{k/U}{D/(U L)}=\dfrac{k L}{D}\equiv \mathrm{Sh},
onde \mathrm{Sh} é o número de Sherwood, definido por \mathrm{Sh}=\dfrac{k L}{D}.
  • Inverso de \Pi_3:
\dfrac{1}{\Pi_3}=\dfrac{\rho U L}{\mu}\equiv \mathrm{Re},
onde \mathrm{Re} é o número de Reynolds.
  • A partir de \Pi_2 e \Pi_3 pode-se montar o número de Schmidt:
\mathrm{Sc}=\dfrac{\mu}{\rho D}=\dfrac{\mu/( \rho U L)}{D/(U L)}=\dfrac{\Pi_3}{\Pi_2}.
Também se verifica que o número de Peclet é \mathrm{Pe}=\dfrac{U L}{D}=\dfrac{1}{\Pi_2} e \mathrm{Pe}=\mathrm{Re}\,\mathrm{Sc}.

Passo 8

Conclusão física da análise dimensional (como usar na prova):
  • Os três grupos adimensionais essenciais que contêm toda a dependência dimensional do coeficiente de transferência de massa são \mathrm{Sh}=\dfrac{k L}{D},\qquad \mathrm{Re}=\dfrac{\rho U L}{\mu},\qquad \mathrm{Sc}=\dfrac{\mu}{\rho D}.
  • A forma geral dada pela análise dimensional é \mathrm{Sh}=F(\mathrm{Re},\mathrm{Sc}),ou equivalentemente \mathrm{Sh}=F(\mathrm{Re},\mathrm{Sc},\ldots) se outras influências físicas relevantes existirem (por exemplo, efeito de compressibilidade, gradientes de temperatura que alterem D, rugosidade da placa, gravidade levando a convecção natural — aí entrariam números adimensionais extras como número de Grashof etc.).
Dica prática para prova: reconheça estas definições e derive-as rapidamente com um pequeno Buckingham como fiz (escolhendo U,L,\rho como repetidas). Em muitos casos de escoamento forçado sobre placa lisa e propriedades constantes do gás, as correlações empíricas dão diretamente \mathrm{Sh} em função de \mathrm{Re} e \mathrm{Sc} (por ex. regimes laminar/turbulento com potências típicas).

Resposta

\mathrm{Sh}=\dfrac{k\,L}{D},\\ \mathrm{Re}=\dfrac{\rho\,U\,L}{\mu},\\ \mathrm{Sc}=\dfrac{\mu}{\rho\,D}
\mathrm{Sh}=F(\mathrm{Re},\mathrm{Sc})

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