Um longo cilindro de argila, com concentração inicial de água \mathrm{C}_{\mathrm{A} 0}, é subitamente colocado em contato com uma corrente de ar que tem uma concentração igual a \mathrm{C}_{\mathrm{A}, \mathrm{inf}}. Se o raio do cilindro é \mathrm{r}_{0} e o coeficiente médio de transferência de massa do cilindro para o ar é \mathrm{k}_{\mathrm{c}}, mostre, por análise dimensional, que o perfil de concentrações dentro do cilindro pode ser expresso pelos parâmetros:
\frac{C_{A}(r)-C_{A, \infty}}{C_{A, 0}-C_{A, \infty}} ; \frac{r}{r_{0}} ; \frac{D_{A B}}{k_{c} r_{0}} ; \frac{D_{A B} t}{r_{0}^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações nos dá.
  • Pede: mostrar, por análise dimensional, que o perfil de concentrações dentro do cilindro pode ser expresso através dos parâmetros indicados.
  • Informações/dados relevantes do enunciado:
    • Concentração inicial do sólido: C_{A0}.
    • Concentração do ar ambiente (infinito): C_{A,\infty}.
    • Concentração no interior do cilindro, função da posição radial e do tempo: C_A(r,t) (o enunciado escreve C_A(r), mas o problema tem dependência temporal).
    • Raio do cilindro: r_0.
    • Coeficiente médio de transferência de massa do sólido para o ar: k_c.
    • Difusividade do soluto no sólido (ou difusividade efetiva): D_{AB}.
    • Tempo: t.
    • Coordenada radial: r.
As perguntas implícitas que devemos responder:
  • Quais são as combinações adimensionais relevantes que descrevem o perfil de concentração?
  • Mostrar, por análise dimensional (Buckingham π), que o perfil reduzido pode ser escrito usando exatamente esses grupos adimensionais.

Passo 2

Preparação para aplicar Buckingham π — escolha das variáveis e das formas úteis.
  • É conveniente trabalhar com as diferenças de concentração, porque a transferência depende de contrastes. Defino:
    • \Delta C(r,t) \equiv C_A(r,t)-C_{A,\infty}.
    • \Delta C_0 \equiv C_{A0}-C_{A,\infty}.
    Ambas têm dimensão de concentração: massa por volume \,{\rm M L^{-3}}.
  • Lista final de variáveis que influenciam \Delta C(r,t):
    1. \Delta C(r,t) (variável dependente),
    2. \Delta C_0 (escala de concentração),
    3. r (posição radial),
    4. r_0 (raio do cilindro),
    5. D_{AB} (difusividade, dimensão L^2 T^{-1}),
    6. k_c (coeficiente de transferência de massa, dimensão L T^{-1}),
    7. t (tempo, dimensão T).
  • Contagem para Buckingham:
    • Número de variáveis n=7.
    • Número de dimensões fundamentais envolvidas: massa, comprimento e tempo \Rightarrow k=3.
    • Número de grupos adimensionais: n-k=7-3=4.
Portanto devemos obter 4 combinações adimensionais independentes que descrevem o problema.

Passo 3

Escolha de variáveis repetidas (repeating variables) e justificativa.
  • Escolho como variáveis repetidas: r_0, k_c e D_{AB}.
    • Dimensões: r_0 tem [L], k_c tem [L\,T^{-1}], D_{AB} tem [L^2\,T^{-1}].
    • Essas três são dimensionalmente independentes (uma contém apenas L, outra L T^{-1}, outra L^2 T^{-1}); com elas dá para formar combinações para eliminar L e T quando necessário.
  • As variáveis não repetidas (cada uma dará um grupo π) são: \Delta C(r,t), r, t, \Delta C_0.
    • Note que \Delta C_0 tem mesma dimensão que \Delta C, então juntas podem formar um grupo de razão de concentrações.

Passo 4

Formação explícita dos grupos adimensionais (aplicando o método).
Grupo 1: razão de concentrações (natural e óbvio).
  • A razão \pi_1 \equiv \frac{\Delta C(r,t)}{\Delta C_0} = \frac{C_A(r,t)-C_{A,\infty}}{C_{A0}-C_{A,\infty}}é imediatamente adimensional. Física: normaliza a concentração local pela amplitude inicial do contraste.
Grupo 2: coordenada radial adimensional.
  • Para a variável r podemos construir uma combinação com r_0:
    • Tomando potências r_0^{-1} r dá dimensão L/L=1. Assim
    \pi_2 \equiv \frac{r}{r_0}.
Grupo 3: número adimensional envolvendo D_{AB}, k_c e r_0.
  • Queremos uma combinação dos repetidos que fique adimensional e que contenha D_{AB} (já é repetida, mas este grupo usual aparece como razão entre difusividade e produto k_c r_0). Verificação de dimensões: \frac{D_{AB}}{k_c r_0} \quad\text{tem dimensão}\quad \frac{[L^2 T^{-1}]}{[L T^{-1}]\,[L]} = 1.ãPortanto definimos \pi_3 \equiv \frac{D_{AB}}{k_c r_0}.Observação física: a recíproca \dfrac{k_c r_0}{D_{AB}} é o número de Biot de massa para a geometria do cilindro; \pi_3 mede a relação entre resistência interna (difusão) e resistência externa (convecção/transferência de superfície).
Grupo 4: número adimensional tempo-difusão (número de Fourier para massa).
  • Combinação natural de D_{AB}, t e r_0: \frac{D_{AB} t}{r_0^2}\quad\text{tem dimensão}\quad \frac{[L^2 T^{-1}]\,[T]}{[L]^2}=1.ãDefinimos \pi_4 \equiv \frac{D_{AB}\,t}{r_0^2}.Física: é o número de Fourier (adimensional) para difusão de massa; mede quanto a difusão teve tempo para atuar comparado ao tempo característico r_0^2/D_{AB}.

Passo 5

Conclusão lógica da análise dimensional.
  • Pelo teorema de Buckingham, o problema (isto é, a dependência da variável dependente \Delta C(r,t) nas variáveis listadas) pode ser expresso por uma relação funcional entre as quatro \pi-grupos independentes encontradas.
  • Em termos das notações originais:
    \frac{C_A(r,t)-C_{A,\infty}}{C_{A0}-C_{A,\infty}} = f\!\left(\frac{r}{r_0},\,\frac{D_{AB}}{k_c r_0},\,\frac{D_{AB} t}{r_0^2}\right),
    onde f é uma função adimensional que dependerá das condições iniciais e das equações de transporte (difusão no sólido com condição de troca de massa na superfície).
  • Isso mostra exatamente que o perfil adimensional de concentrações pode ser escrito em função dos parâmetros solicitados:
    • \dfrac{C_A(r)-C_{A,\infty}}{C_{A,0}-C_{A,\infty}},
    • \dfrac{r}{r_0},
    • \dfrac{D_{AB}}{k_c r_0},
    • \dfrac{D_{AB} t}{r_0^2}.

Resposta

\frac{C_A(r,t)-C_{A,\infty}}{C_{A0}-C_{A,\infty}} = f\!\left(\frac{r}{r_0},\,\frac{D_{AB}}{k_c r_0},\,\frac{D_{AB}\,t}{r_0^2}\right)

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