Um longo cilindro de argila, com concentração inicial de água
, é subitamente colocado em contato com uma corrente de ar que tem uma concentração igual a
. Se o raio do cilindro é
e o coeficiente médio de transferência de massa do cilindro para o ar é
, mostre, por análise dimensional, que o perfil de concentrações dentro do cilindro pode ser expresso pelos parâmetros:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações nos dá.
- Pede: mostrar, por análise dimensional, que o perfil de concentrações dentro do cilindro pode ser expresso através dos parâmetros indicados.
- Informações/dados relevantes do enunciado:
- Concentração inicial do sólido:
. - Concentração do ar ambiente (infinito):
. - Concentração no interior do cilindro, função da posição radial e do tempo:
(o enunciado escreve , mas o problema tem dependência temporal). - Raio do cilindro:
. - Coeficiente médio de transferência de massa do sólido para o ar:
. - Difusividade do soluto no sólido (ou difusividade efetiva):
. - Tempo:
. - Coordenada radial:
.
- Concentração inicial do sólido:
As perguntas implícitas que devemos responder:
- Quais são as combinações adimensionais relevantes que descrevem o perfil de concentração?
- Mostrar, por análise dimensional (Buckingham π), que o perfil reduzido pode ser escrito usando exatamente esses grupos adimensionais.
Passo 2
Preparação para aplicar Buckingham π — escolha das variáveis e das formas úteis.
-
É conveniente trabalhar com as diferenças de concentração, porque a transferência depende de contrastes. Defino:
-
. -
.
Ambas têm dimensão de concentração: massa por volume -
-
Lista final de variáveis que influenciam
: -
(variável dependente), -
(escala de concentração), -
(posição radial), -
(raio do cilindro), -
(difusividade, dimensão ), -
(coeficiente de transferência de massa, dimensão ), -
(tempo, dimensão ).
-
-
Contagem para Buckingham:
- Número de variáveis
. - Número de dimensões fundamentais envolvidas: massa, comprimento e tempo
. - Número de grupos adimensionais:
.
- Número de variáveis
Portanto devemos obter 4 combinações adimensionais independentes que descrevem o problema.
Passo 3
Escolha de variáveis repetidas (repeating variables) e justificativa.
- Escolho como variáveis repetidas:
, e . - Dimensões:
tem , tem , tem . - Essas três são dimensionalmente independentes (uma contém apenas
, outra , outra ); com elas dá para formar combinações para eliminar e quando necessário.
- Dimensões:
- As variáveis não repetidas (cada uma dará um grupo π) são:
, , , . - Note que
tem mesma dimensão que , então juntas podem formar um grupo de razão de concentrações.
- Note que
Passo 4
Formação explícita dos grupos adimensionais (aplicando o método).
Grupo 1: razão de concentrações (natural e óbvio).
- A razão
é imediatamente adimensional. Física: normaliza a concentração local pela amplitude inicial do contraste.
Grupo 2: coordenada radial adimensional.
- Para a variável
podemos construir uma combinação com : - Tomando potências
dá dimensão . Assim
- Tomando potências
Grupo 3: número adimensional envolvendo
,
e
.
- Queremos uma combinação dos repetidos que fique adimensional e que contenha
(já é repetida, mas este grupo usual aparece como razão entre difusividade e produto ). Verificação de dimensões: Portanto definimos Observação física: a recíproca é o número de Biot de massa para a geometria do cilindro; mede a relação entre resistência interna (difusão) e resistência externa (convecção/transferência de superfície).
Grupo 4: número adimensional tempo-difusão (número de Fourier para massa).
- Combinação natural de
, e : Definimos Física: é o número de Fourier (adimensional) para difusão de massa; mede quanto a difusão teve tempo para atuar comparado ao tempo característico .
Passo 5
Conclusão lógica da análise dimensional.
-
Pelo teorema de Buckingham, o problema (isto é, a dependência da variável dependente
nas variáveis listadas) pode ser expresso por uma relação funcional entre as quatro -grupos independentes encontradas. -
Em termos das notações originais:onde
é uma função adimensional que dependerá das condições iniciais e das equações de transporte (difusão no sólido com condição de troca de massa na superfície). -
Isso mostra exatamente que o perfil adimensional de concentrações pode ser escrito em função dos parâmetros solicitados:
-
, -
, -
, -
.
-