Aplicar o método da separação das variáveis para demonstrar detalhadamente a obtenção do par de EDO que pode ser utilizado para substituir cada uma das EDP dadas, adotando como constante de separação lambda^{2}. NÃO é necessário resolver.
x^{2} u_{x x}+u_{y y}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDP
x^{2}\,u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=0
e pede para usar separação de variáveis adotando constante de separação \lambda^{2}. Vamos supor solução do tipo
u(x,y)=X(x)\,Y(y).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de u:
u_{xx}(x,y)=X''(x)\,Y(y),
u_{yy}(x,y)=X(x)\,Y''(y).
Substituindo na EDP obtemos
x^{2}\,X''(x)\,Y(y)+X(x)\,Y''(y)=0.

Passo 3

Dividindo por X(x)\,Y(y), ficamos com
x^{2}\,\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
O primeiro termo depende só de x e o segundo só de y; para a soma ser sempre zero devemos ter
x^{2}\,\frac{X''(x)}{X(x)}=-\frac{Y''(y)}{Y(y)}=\lambda^{2},
onde \lambda^{2} é a constante de separação.

Passo 4

Igualando cada lado a \lambda^{2}, obtemos o sistema de EDOs para X e Y:
x^{2}\,X''(x)-\lambda^{2}\,X(x)=0,
Y''(y)+\lambda^{2}\,Y(y)=0.

Resposta

As EDOs obtidas pela separação de variáveis são
x^{2}\,X''(x)-\lambda^{2}\,X(x)=0,
Y''(y)+\lambda^{2}\,Y(y)=0.

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