Obter a solução geral
para as EDP a seguir, que são solucionáveis como EDO. Empregar o MCI na determinação da solução particular
, inclusive analisando se há coincidência ou não entre
e
. Verificar a solução obtida.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral de uma PDE linear de primeira ordem em
, dada por
onde tratamos
como parâmetro e resolvemos uma EDO em
. Para isso vamos usar o método do fator integrante (MCI), encontrando primeiro a solução homogênea
, depois uma solução particular
e examinando o caso de coincidência (ressonância) entre elas.
Passo 2
Resolvemos a equação homogênea
Trata-se de uma EDO de coeficientes constantes em
. A solução geral é
onde
é uma função arbitrária de
.
Passo 3
Para achar uma solução particular quando
, calculamos o fator integrante
Multiplicando a PDE original por
vem
Integramos em
:
Logo, para
,
Passo 4
Se
, a integral de
faz
e temos ressonância, pois o termo particular proposto seria da forma
, igual ao homogêneo. Neste caso tentamos
Como
está fixo em
, derivamos em
:
Queremos isso igual a
, logo
. Assim
Passo 5
Combinando os casos, a solução geral é:
- Para
: - Para
:
Passo 6
Verificamos rapidamente no caso
:
portanto
Para
também confere conforme calculado no Passo 4.
Resposta
Para
:
Para
: