Aplicar o método da separação das variáveis para demonstrar detalhadamente a obtenção do par de EDO que pode ser utilizado para substituir cada uma das EDP dadas, adotando como constante de separação lambda^{2}. NÃO é necessário resolver.
a^{2} u_{x x}=u_{y y}+2 k u_{y}, \operatorname{com} k>0

Passo 1

O enunciado dá a EDP
a^{2}u_{xx} = u_{yy} + 2k\,u_{y},\quad k>0,
e pede para usar separação de variáveis u(x,y)=X(x)\,Y(y), adotando como constante de separação \lambda^{2}.

Passo 2

Com u(x,y)=X(x)\,Y(y) temos
u_{xx} = X''(x)\,Y(y),\quad u_{y} = X(x)\,Y'(y),\quad u_{yy} = X(x)\,Y''(y).
Substituindo na EDP:
a^{2}\,X''(x)\,Y(y) \;=\; X(x)\,Y''(y) \;+\;2k\,X(x)\,Y'(y).

Passo 3

Dividindo ambos os lados por X(x)\,Y(y) obtém-se
a^{2}\,\frac{X''(x)}{X(x)} \;=\; \frac{Y''(y)}{Y(y)} \;+\;2k\,\frac{Y'(y)}{Y(y)}.
O lado esquerdo depende só de x e o direito só de y, logo cada um vale uma mesma constante de separação, que chamamos de \lambda^{2}.

Passo 4

Igualando cada lado a \lambda^{2} obtemos o par de EDOs:
a^{2}\,\frac{X''(x)}{X(x)} = \lambda^{2} \;\Longrightarrow\; X''(x)\;-\;\frac{\lambda^{2}}{a^{2}}\,X(x)=0,
\frac{Y''(y)}{Y(y)}+2k\,\frac{Y'(y)}{Y(y)}=\lambda^{2} \;\Longrightarrow\; Y''(y)+2k\,Y'(y)-\lambda^{2}Y(y)=0.

Resposta

X''(x)-\frac{\lambda^{2}}{a^{2}}\,X(x)=0, \qquad Y''(y)+2k\,Y'(y)-\lambda^{2}Y(y)=0.

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