Aplique a propriedade distributiva e simplifique as expressões sempre que possivel.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar a propriedade distributiva e simplificar as expressões sempre que possível. Vou resolver vários exemplos didáticos e passo a passo para você entender como fazer na prova. As expressões que vou simplificar são (peguei todas elas aqui para praticar diferentes casos):
  • (3)(x+4)
  • -2(x-5)
  • 2(x^{2}-3x+4)
  • (x+2)(x+3)
  • (3x-2)(2x+5)
  • -\bigl(x^{2}-x-3\bigr)
  • \dfrac{1}{2}(4x+6)
  • 6x+12 (fatorar, que é a distributiva “ao contrário”)
  • x(2x+3)+4(2x+3) (fatorar por agrupamento)
  • (x+1)(x^{2}-x+2)

Passo 2

Primeiro, a regra que vamos usar é a propriedade distributiva. Ela diz:
a(b+c)=ab+ac.
O que isso significa: se um número ou expressão a multiplica uma soma b+c, dá para multiplicar a por cada parcela e depois somar os resultados. Aqui cada símbolo representa:
  • a: um número ou expressão que multiplica a soma;
  • b,c: parcelas que estão dentro do parênteses.
    Exemplo numérico rápido para ver a ideia: (3)(2+5)=3\cdot2+3\cdot5=6+15=21. É a mesma coisa que calcular 2+5=7 e depois 3\cdot7=21.

Passo 3

Aplicando a distributiva em um caso simples. Expressão: (3)(x+4).
Multiplicar 3 por cada termo dentro dos parênteses:
3(x+4)=3\cdot x + 3\cdot 4.
Agora simplifico os produtos:
3x+12.
Pronto.

Passo 4

Distributiva com sinal negativo. Expressão: -2(x-5).
Truque: x-5 é x+(-5), então distribuo -2 sobre cada termo:
-2(x-5)=-2\cdot x + (-2)\cdot(-5).
Calculo os produtos: -2\cdot x=-2x e (-2)\cdot(-5)=+10. Resultado:
-2x+10.
Observação útil: distribuir um negativo troca o sinal de cada termo dentro do parêntese.

Passo 5

Distributiva em polinômio com três termos. Expressão: 2(x^{2}-3x+4).
Distribuo 2 para cada termo:
2(x^{2}-3x+4)=2\cdot x^{2} + 2\cdot(-3x) + 2\cdot 4.
Faço cada produto:
2x^{2} -6x +8.
Agora já está simplificado (não há termos semelhantes para combinar).

Passo 6

Multiplicação de dois binômios (distributiva duas vezes). Expressão: (x+2)(x+3).
Vou distribuir o primeiro parêntese termo a termo (ou usar FOIL: First, Outer, Inner, Last).
Escolhendo distributiva: x multiplica o segundo parêntese e 2 multiplica o segundo parêntese:
(x+2)(x+3)=x(x+3)+2(x+3).
Agora distribuo em cada parte:
x(x+3)=x\cdot x + x\cdot 3 = x^{2}+3x,
2(x+3)=2x+6.
Somando:
x^{2}+3x+2x+6.
Combino termos semelhantes 3x+2x=5x:
x^{2}+5x+6.

Passo 7

Outro produto de binômios com coeficientes. Expressão: (3x-2)(2x+5).
Faço a distribuição termo a termo (cada termo do primeiro multiplica todo o segundo):
(3x-2)(2x+5)=3x(2x+5) -2(2x+5).
Distribuo dentro de cada produto:
3x(2x+5)=3x\cdot 2x + 3x\cdot 5 = 6x^{2}+15x,
-2(2x+5)=-2\cdot 2x + (-2)\cdot 5 = -4x -10.
Agora somo:
6x^{2}+15x-4x-10.
Combino 15x-4x=11x:
6x^{2}+11x-10.

Passo 8

Distribuindo um sinal de negativo sobre um polinômio. Expressão: -\bigl(x^{2}-x-3\bigr).
Multiplico -1 por cada termo (é a mesma ideia):
-(x^{2}-x-3) = -1\cdot x^{2} + (-1)\cdot(-x) + (-1)\cdot(-3).
Calculo:
- x^{2} + x + 3.
Sempre cuidado com sinais: o menos fora inverte os sinais internos.

Passo 9

Distributiva com fração. Expressão: \dfrac{1}{2}(4x+6).
Multiplico \tfrac{1}{2} por cada termo:
\dfrac{1}{2}(4x+6)=\dfrac{1}{2}\cdot 4x + \dfrac{1}{2}\cdot 6.
Simplificando cada produto:
\dfrac{4}{2}x + \dfrac{6}{2} = 2x + 3.
Aqui foi conveniente simplificar a fração antes de multiplicar.

Passo 10

Distributiva “ao contrário”: fator comum. Expressão: 6x+12.
Procuro um fator comum em todos os termos; aqui 6 é fator comum:
6x+12=6(x+2).
Isso é exatamente a distributiva invertida: 6(x+2)=6x+12. Fatorar é útil para simplificar ou resolver equações.

Passo 11

Fatoração por agrupamento (usar distributiva para agrupar). Expressão: x(2x+3)+4(2x+3).
Repare que os dois termos têm o mesmo fator (2x+3). Posso aplicar a distributiva invertida:
x(2x+3)+4(2x+3)=(x+4)(2x+3).
Passos: coloque (2x+3) em evidência e some os coeficientes externos x+4.

Passo 12

Produto de binômio por trinômio (distributiva aplicada várias vezes). Expressão: (x+1)(x^{2}-x+2).
Distribuo x e 1 sobre o trinômio:
(x+1)(x^{2}-x+2)=x(x^{2}-x+2)+1(x^{2}-x+2).
Agora distribuo em cada parte:
x(x^{2}-x+2)=x^{3}-x^{2}+2x,
1(x^{2}-x+2)=x^{2}-x+2.
Somando:
x^{3}-x^{2}+2x + x^{2}-x+2.
Combino termos semelhantes: -x^{2}+x^{2}=0 e 2x - x = x. Resultado final:
x^{3}+x+2.

Passo 13

Dicas rápidas para a prova (pequenos macetes):
  • Sempre multiplique cada termo dentro do parêntese pelo fator externo; não esqueça termos com sinal negativo.
  • Depois de distribuir, procure termos semelhantes para combinar.
  • Para produtos de dois polinômios grandes, distribua cada termo do primeiro pelo segundo (é a mesma ideia).
  • Para fatorar, procure o maior fator comum ou tente agrupamento quando houver pares com fator comum.
  • Verifique sinais ao final para não errar o sinal de um termo.

Resposta

3x+12
-2x+10
2x^{2}-6x+8
x^{2}+5x+6
6x^{2}+11x-10
-x^{2}+x+3
2x+3
6(x+2)
(x+4)(2x+3)
x^{3}+x+2

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