Seja C a curva definida pela função vetorial r:[0, \infty) \rightarrow V_{3} dada por
r(t)=(2 t, 1-3 t, 5+4 t) .
Determine a parametrizaçāo de C pelo comprimento de arco.
Passo 1
O enunciado fornece a curva C dada pela função vetorial r:[0,\infty)\to V_{3}:
r(t)=(2t,\;1-3t,\;5+4t),
com t variando em [0,\infty). A tarefa é determinar uma parametrização de C por comprimento de arco (isto é, encontrar uma nova função vetorial R(s) com parâmetro s sendo o comprimento de arco medido a partir de t=0) e indicar o domínio desse parâmetro s.
Passo 2
Primeiro precisamos da velocidade da curva e de sua norma. A definição que vamos usar é:
\text{se }r(t)\text{ é a curva, a velocidade é }r'(t)=\frac{d}{dt}r(t)
e o comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}\big\|r'(\tau)\big\|\,d\tau,
onde \|\cdot\| é a norma euclidiana no espaço. Vamos calcular r'(t) componente a componente:
r'(t)=\big(2,\,-3,\;4\big).
Note que r'(t) é independente de t (velocidade constante).
Explicando: a norma de um vetor (a,b,c) é \sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}. Aqui obtemos \sqrt{29}, que é uma constante.
Passo 3
Como \big\|r'(\tau)\big\|=\sqrt{29} é constante, o comprimento de arco a partir de t=0 fica simples:
s(t)=\int_{0}^{t}\sqrt{29}\,d\tau=\sqrt{29}\,t.
Isto significa que s e t estão relacionados linearmente. Invertendo essa relação para escrever t em função de s:
t=\frac{s}{\sqrt{29}}.
O domínio de s corresponde ao de t: como t\in[0,\infty), temos s\in[0,\infty).
Passo 4
Agora substituímos t=t(s)=\dfrac{s}{\sqrt{29}} em r(t) para obter a parametrização por comprimento de arco R(s)=r(t(s)). Fazendo a substituição componente a componente:
o que coincide com a expressão obtida pela substituição anterior.
Passo 5
Resumo e observações práticas para a prova: como a velocidade é constante, o comprimento de arco cresce linearmente com t e a troca de parâmetro é direta (t=s/\sqrt{29}). Em situações com velocidade não constante, usar-se-ia a integral s(t)=\int_{0}^{t}\|r'(\tau)\|\,d\tau e depois inverter essa função para obter t(s). Aqui a conta é curta e segura — nada de integrais complicadas na prova. Vai dar certo!