Aplique o teorema da seção 23 para verificar que cada uma dessas funções é inteira.
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Passo 1
Resumindo, queremos aplicar o teorema da seção 23, que diz que se
e
têm derivadas parciais contínuas em todo
e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann, então
é holomorfa em todo
, isto é, é inteira.
Passo 2
Identificamos as partes real e imaginária de
Logo,
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 4
Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
Portanto, as equações de Cauchy–Riemann estão satisfeitas em todo
.
Passo 5
As derivadas parciais de
e
são combinações de
,
e
, todas funções
em
. Logo, são contínuas em todo o plano.
Passo 6
Pelos passos anteriores,
e
satisfazem as hipóteses do teorema da seção 23 em todo
. Concluímos que
é holomorfa em
. Como seu domínio é todo
,
é inteira.
Resposta
A função
é inteira.