Aplique o teorema da seção 23 para verificar que cada uma dessas funções é inteira.
f(z)=e^{-y} \sin x-i e^{-y} \cos x;

Passo 1

Resumindo, queremos aplicar o teorema da seção 23, que diz que se u(x,y) e v(x,y) têm derivadas parciais contínuas em todo \mathbb{R}^2 e satisfazem as equações de Cauchy–Riemann, então
f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y)
é holomorfa em todo \mathbb{C}, isto é, é inteira.

Passo 2

Identificamos as partes real e imaginária de
f(z)=e^{-y}\sin x \;-\;i\,e^{-y}\cos x.
Logo,
u(x,y)=e^{-y}\sin x, \qquad v(x,y)=-\,e^{-y}\cos x.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-y}\sin x\bigr) = e^{-y}\cos x,
u_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{-y}\sin x\bigr) = -\,e^{-y}\sin x,
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-e^{-y}\cos x\bigr) = -\bigl(-e^{-y}\sin x\bigr) = e^{-y}\sin x,
v_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-e^{-y}\cos x\bigr) = -\bigl(-e^{-y}\cos x\bigr) = e^{-y}\cos x.

Passo 4

Verificamos as equações de Cauchy–Riemann:
u_x = e^{-y}\cos x \quad\text{e}\quad v_y = e^{-y}\cos x \;\Longrightarrow\;u_x = v_y,
u_y = -\,e^{-y}\sin x \quad\text{e}\quad -\,v_x = -\,\bigl(e^{-y}\sin x\bigr) \;\Longrightarrow\;u_y = -\,v_x.
Portanto, as equações de Cauchy–Riemann estão satisfeitas em todo (x,y).

Passo 5

As derivadas parciais de u e v são combinações de e^{-y}, \sin x e \cos x, todas funções C^\infty em \mathbb{R}^2. Logo, são contínuas em todo o plano.

Passo 6

Pelos passos anteriores, u e v satisfazem as hipóteses do teorema da seção 23 em todo \mathbb{R}^2. Concluímos que f é holomorfa em \mathbb{C}. Como seu domínio é todo \mathbb{C}, f é inteira.

Resposta

A função f(z)=e^{-y}\sin x - i\,e^{-y}\cos x é inteira.

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