Use o teorema da Seção 23 para mostrar que f^{\prime}(z) e sua derivada f^{\prime \prime}(z) existem em toda parte e encontre f^{\prime \prime}(z) se
f(z)=i z+2;

Passo 1

O enunciado pede para usar o teorema da Seção 23 (que garante linearidade da derivada e que a derivada de z é 1 e de constante é 0) para mostrar que f'(z) existe em todo lugar e, em seguida, que f''(z) também existe. A função dada é
f(z)=i\,z+2.

Passo 2

Pela linearidade da derivada,
f'(z)=\frac{d}{dz}\bigl(i\,z\bigr)+\frac{d}{dz}(2).
Sabemos que \frac{d}{dz}(i\,z)=i\cdot\frac{d}{dz}(z)=i\cdot1=i e que \frac{d}{dz}(2)=0. Logo
f'(z)=i+0=i.
Isso mostra que f'(z) existe em toda parte (é a constante i).

Passo 3

Como f'(z)=i é constante, sua derivada também existe em toda parte e vale
f''(z)=\frac{d}{dz}\bigl(f'(z)\bigr)=\frac{d}{dz}(i)=0.

Resposta

f''(z)=0.

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